Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) - Toán lớp 12

---

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Với Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; x₃; ..; x_n trên [a; b], tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

* Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); f(x₃); ...; f(x_n); f(b).

* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì .

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x³ – 8x² + 16x - 9 trên đoạn [1; 3] là:

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [1;3]

Ta có đạo hàm y'= 3x² – 16x + 16

Do đó

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x⁴ – 2x² + 1 trên đoạn [0; 2] là:

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [0;2]

Ta có y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1).

Xét trên (0;2) ta có f'(x) = 0 khi x = 1.

Khi đó f(1) = 0; f(0) = 1; f(2)= 9

Do đó

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(x + 2).(x + 4).(x + 6) + 5 trên nữa khoảng [-4; +∞) là:

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên

* Ta có: y = (x² + 6x).(x² + 6x + 8) + 5.

Đặt t = x² + 6x. Khi đó y = t.(t + 8) + 5 = t² + 8t + 5

* Xét hàm số g(x)= x² + 6x với x ≥ -4.

Ta có g'(x) = 2x + 6; g'(x) = 0 khi và chỉ khi x = -3

Bảng biến thiên:

Suy ra t ∈ [-9; +∞)

* Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = h(t)= t² + 8t + 5 với t ∈ [-9; +∞).

* Ta có h'(t) = 2t + 8

h'(t) = 0 khi t = - 4;

Bảng biến thiên

Vậy

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là:

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục trên [0;3]

Ta có

với ∀x ∈ [0;3]; y(0) = -1; y(3) = 1/2

Do đó

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên khoảng (1;+∞) là:

Lời giải:

Hàm số xác định với (1;+∞)

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên (1;+∞)

Ta có:

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Dạng 2: Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x;m) liên tục trên đoạn [a;b]. Tìm m để giá trị nhỏ nhất; giá trị lớn nhất của hàm số thỏa mãn điều kiện T:

Bước 1. Tính y’(x).

+ Nếu y'(x) ≥ 0; ∀x trên đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến trên [a;b]

⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a; hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = b

+ Nếu y'(x) ≤ 0; ∀x trên đoạn [a; b] thì hàm số ngịch biến trên [a; b]

⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = b và đạt giá trị lớn nhất tại x = a.

+ Nếu hàm số không đơn điiệu trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

Giải phương tình y' = 0.

Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b].

Bước 2. Kết hợp với gỉa thiết suy ra giá trị m cần tìm.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số sau trên đoạn [0;1] bằng -4

A. m = 1 hoặc m = -1      B. m = 2 hoặc m = -2

C. m = 3 hoặc m = -3      D. m = 4 hoặc m = -4

Lời giải:

Đạo hàm

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0;1]

Nên

Theo giả thiết ta có:

⇔ m² = 9 nên m = 3 hoặc m = -3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) = -x³ – 3x² + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] là 0

A. a = 2      B. a = 6

C. a = 0      D. a = 4

Lời giải:

Đạo hàm f'(x) = -3x² - 6x

Xét phương trình:

Ta có:

Theo bài ra:

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số:

(với m là tham số thực) thỏa mãn

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 3 < m < 4      B. 1 < m < 4

C. m > 4      D. m < -1

Lời giải:

Đạo hàm

* Trường hợp 1.

Với m > -1 suy ra

; ∀x ≠ 1

nên hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

* Trường hợp 2.

Với m < -1 suy ra

; ∀x ≠ 1

nên hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

(với m là tham số thực) thỏa mãn:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. 2 < m < 4      B. 0 < m < 4

C. m < 0      D. m > 4

Lời giải:

Đạo hàm

Suy ra hàm số f(x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2] với mọi m ≠ 1.

Khi đó:

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Cho hàm số:

với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m > 1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;4] nhỏ hơn 3.

A. m ∈ (1;3)      B. m ∈ (1;4)

C. m ∈ (1;√5)      D. m ∈ (1;2√5]

Lời giải:

Ta có: đạo hàm

Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

Vậy ta cần có

Suy ra chọn đáp án C.