X

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) - Toán lớp 12


Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Với Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; x3; ..; xn trên [a; b], tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

* Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); f(x3); ...; f(xn); f(b).

* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì .

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3 – 8x2 + 16x - 9 trên đoạn [1; 3] là:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [1;3]

Ta có đạo hàm y'= 3x2 – 16x + 16

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Do đó Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [0; 2] là:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [0;2]

Ta có y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1).

Xét trên (0;2) ta có f'(x) = 0 khi x = 1.

Khi đó f(1) = 0; f(0) = 1; f(2)= 9

Do đó Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(x + 2).(x + 4).(x + 6) + 5 trên nữa khoảng [-4; +∞) là:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên

* Ta có: y = (x2 + 6x).(x2 + 6x + 8) + 5.

Đặt t = x2 + 6x. Khi đó y = t.(t + 8) + 5 = t2 + 8t + 5

* Xét hàm số g(x)= x2 + 6x với x ≥ -4.

Ta có g'(x) = 2x + 6; g'(x) = 0 khi và chỉ khi x = -3

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bảng biến thiên:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra t ∈ [-9; +∞)

* Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = h(t)= t2 + 8t + 5 với t ∈ [-9; +∞).

* Ta có h'(t) = 2t + 8

h'(t) = 0 khi t = - 4; Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bảng biến thiên

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Vậy Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) trên đoạn [0; 3] là:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục trên [0;3]

Ta có Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

với ∀x ∈ [0;3]; y(0) = -1; y(3) = 1/2

Do đó Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên khoảng (1;+∞) là:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Lời giải:

Hàm số xác định với (1;+∞)

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên (1;+∞)

Ta có:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bảng biến thiên

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Từ bảng biến thiên ta có:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Dạng 2: Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x;m) liên tục trên đoạn [a;b]. Tìm m để giá trị nhỏ nhất; giá trị lớn nhất của hàm số thỏa mãn điều kiện T:

Bước 1. Tính y’(x).

+ Nếu y'(x) ≥ 0; ∀x trên đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến trên [a;b]

⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a; hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = b

+ Nếu y'(x) ≤ 0; ∀x trên đoạn [a; b] thì hàm số ngịch biến trên [a; b]

⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = b và đạt giá trị lớn nhất tại x = a.

+ Nếu hàm số không đơn điiệu trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

Giải phương tình y' = 0.

Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b].

Bước 2. Kết hợp với gỉa thiết suy ra giá trị m cần tìm.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số sau trên đoạn [0;1] bằng -4

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

A. m = 1 hoặc m = -1      B. m = 2 hoặc m = -2

C. m = 3 hoặc m = -3      D. m = 4 hoặc m = -4

Lời giải:

Đạo hàm

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0;1]

Nên

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Theo giả thiết ta có:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

⇔ m2 = 9 nên m = 3 hoặc m = -3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] là 0

A. a = 2      B. a = 6

C. a = 0      D. a = 4

Lời giải:

Đạo hàm f'(x) = -3x2 - 6x

Xét phương trình:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Ta có: Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Theo bài ra:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

(với m là tham số thực) thỏa mãn Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 3 < m < 4      B. 1 < m < 4

C. m > 4      D. m < -1

Lời giải:

Đạo hàm Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

* Trường hợp 1.

Với m > -1 suy ra

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) ; ∀x ≠ 1

nên hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

* Trường hợp 2.

Với m < -1 suy ra

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng) ; ∀x ≠ 1

nên hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

(với m là tham số thực) thỏa mãn:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. 2 < m < 4      B. 0 < m < 4

C. m < 0      D. m > 4

Lời giải:

Đạo hàm Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra hàm số f(x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2] với mọi m ≠ 1.

Khi đó:

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Cho hàm số: Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m > 1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;4] nhỏ hơn 3.

A. m ∈ (1;3)      B. m ∈ (1;4)

C. m ∈ (1;√5)      D. m ∈ (1;2√5]

Lời giải:

Ta có: đạo hàm

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Vậy ta cần có

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (2 dạng)

Suy ra chọn đáp án C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 chọn lọc, có lời giải hay khác: