Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Toán lớp 12

---

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Với Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hệ tọa độ trong không gian từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1. Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

Tính chất: Cho

M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

Tính chất: Cho A(x_A; y_A; z_A); B(x_B; y_B; z_B)

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A( 1; 2; 3); B( -1; 2; 0) và C(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P= a+ b+ c?

A. P = 0    B. P = 3    C. P = 2    D. P = 9

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

=> G( 1; 2; 0)

Vậy P= 1+ 2+ 0= 3.

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ . Tính tọa độ vectơ

A. (0; -1; -5)    B. (2; -1; 1)    C. (2; 3; 1)    D. (0; -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Do nên tọa độ b(1; 1; -2)

Suy ra: = (1+1; 2+ 1; 3+ (-2)) = (2; 3; 1)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→ (1; 5; 2); ON→ (3; 7; -4). Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. P( 5; 9; 10).    B. P(5; 9; -10)    C. P(1; 2; - 4)    D. P( -2; 1;1)

Hướng dẫn giải:

Ta có OM→ (1;5;2) nên tọa độ điểm M( 1; 5; 2); ON→ (3; 7; - 4) nên tọa độ điểm N(3; 7; -4).

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1); B’(2;1;2); D’(1; -1;1) ; C(4 ; 5 ; -5). Gọi tọa độ của đỉnh A’(a ; b ;c). Khi đó P = abc bằng

A. 1    B. 0    C. 2    D. 3

Hướng dẫn giải:

Ta có

Theo quy tắc hình hộp, ta có:

Vậy P= abc = 0

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 3); B(-2; 4; 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BA^→ (4;4;2)    B. M(0; 2; 2)    C. AB = 6    D. AB^→ (-4;4;-2)

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

Độ dài đoạn thẳng AB là:

Tọa độ vecto AB^→ (-4; 4; -2)

Chọn A

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM = √5 . Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 0; 3)    B. M(0; 0; 2)    C.M( 0; 0; -3)    D. M(0; 0; 2)

Hướng dẫn giải:

Do điểm M thuộc trục Oz nên tọa độ điểm M có dạng M(0; 0; m)

Theo giả thiết AM = √5 nên ta có:

⇔ 5+ (z – 3)² = 5 ⇔ (z – 3)² = 0

⇔ z= 3

Do đó, tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 0; 3)

Chọn A.

Dạng 2. Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto

1. Phương pháp giải

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a→(a₁; a₂; a₃), b→(b₁; b₂; b₃); k ∈ R. Khi đó:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u^→ (m; -2; m+1) và v^→(3; -2m – 4; 6). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u^→, v^→ cùng phương.

A. m = 0    B. m = 2    C. m = 1    D. m = -1

Hướng dẫn giải:

* Trường hợp 1. Nếu m = -2. Khi đó,

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ -2 thì để hai vecto đã cho cùng phương khi và chỉ khi:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; -1); B( 5;4; 3). Gọi điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho AM/MB = 2. Tọa độ của điểm M là

A. (3; 4; 4)    B. (-2; 1; 3)    C. (7;6; 7)    D. (11; -1; 9)

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x; y; z). Do điểm M thuộc tia đối của BA và

Ta có:

Do đó, có hệ phương trình:

Vậy tọa độ điểm M( 7; 6; 7)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); M(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm A,B, M thẳng hàng?

A. x = 4 và y= 7.    B. x= -4 và y= - 7.    C. x= 4 và y= - 7    D. x= - 4 và y= 7

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ba điểm A,B, M thẳng hàng khi AM→, AB→ cùng phương

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho a→(1;-3;2); b→(m+1;m-2;1-m); c→(0;m-2;2) . Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: [a^→, b^→] = (m+1; 3m+1; 4m+1)

Ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi [a^→, b^→]c^→ = 0

⇔ 0(m+ 1) + (m- 2).(3m+ 1) + 2(4m+ 1) = 0

⇔ 0+ 3m2 + m- 6m – 2 + 8m + 2= 0

⇔ 3m2 + 3m = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -3; 4); B(1; y; -1); C(x; 4; 3). Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị P = 5x - y là:

A. - 41.    B. - 40.    C. - 23.    D. -36

Hướng dẫn giải:

Có AB→(-1;y+3;-5); AC→(x-2;7;-1)

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB→ cùng phương AC→

* Trường hợp 1. Nếu x= 2 thì AC→ (0; 7; -1).

Ta thấy: không cùng phương trong trường hợp này.

* Trường hợp 2. Nếu x ≠ 2 => x - 2 ≠ 0.

Điều kiện để 2 vecto AB→;AC→ cùng phương là:

=> P = 5x- y = - 23

Chọn C

Dạng 3. Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải

Cho a→(a₁; a₂; a₃) ; b→(b₁; b₂; b₃); k ∈ R

• Tích vô hướng của hai vecto là:

a→. b→ = a₁.b₁ + a₂.b₂ + a₃.b₃

• Cosin góc tạo bởi hai vecto được xác định bởi:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( -1; 2; 4); B(-1; 1; 4) và C(0; 0; 4). Tìm số đo của ∠ABC .

A. 135^o    B. 45^o    C. 60^o    D. 120^o

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> ∠ABC = 135⁰

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; 1); B(1; 2; 1); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 45^o    B. 60^o    C.90^o    D. 135^o

Hướng dẫn giải:

Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Ta có: AB→(-1;1;0); CD→(-2;1;-2)

Khi đó, cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD là:

=> φ = 45^o

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45^o

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(-4; 9; -9); B( 2; 12; -2); C( -m- 2; 1- m; m+ 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3    B. m = -3    C. m= 4    D. m = - 4

Hướng dẫn giải:

Ta có: BA→(-6;-3;-7); BC→(-m-4;-m-11;m+7)

Để tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi: BA→ ⊥ BC→

⇔ BA→ . BC→ = 0 hay - 6( - m - 4) - 3( - m-11) – 7.(m+ 7) = 0

⇔ 6m+ 24 + 3m + 33 – 7m - 49 =0

Hay 2m + 8 = 0 ⇔ m = -4

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a→(1;1;-2); b→(1;0;m). Tìm m để góc giữa hai vecto đó bằng 450

A. m = 2 +√6    B. m = 2 - √6    C. m = 2 ±√6    D. m = 26

Hướng dẫn giải:

Ta cosin góc tạo bởi hai vecto đã cho là:

Để góc giữa hai vecto a→; b→ có số đo 45^o thì

Chọn B .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); C(11; -1; 6) và D( 5; 7; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?

A. Hình thang vuông.    B. Hình thoi.    C. Hình bình hành.    D. Hình vuông.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB→(3;-4;2); BC→(6;4;-1);CD→(-6;8;-4)

Suy ra CD→ = -2AB→

+ Do đó,hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

=> tứ giác ABCD là hình thang.

+ Lại có:

AB→.BC→ = 3.6 + 4.(-4) + 2.(-1) = 0

=> AB ⊥ CD

=> ABCD là hình thang vuông.

Chọn A.

Dạng 4. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

1. Phương pháp giải

Định nghĩa: Cho a→(a₁; a₂; a₃); b→(b₁; b₂; b₃) . Ta có:

Tính chất:

Ứng dụng:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1); B(2;1;3); C(3;2;2). Diện tích tam giác ABC bằng

A. √11/2 .    B. √3 .    C. √13/2 .    D. √14/2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

+ Diện tích tam giác ABC là:

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 1); B(-1; 2; 1) và C(-2;1; 2). Tính chiều cao AH của tam giác?

A. √2     B. √3     C. 2√2     D. √6

Hướng dẫn giải:

+ Diện tích tam giác ABC là:

Lại có:

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1); B( 2;1; 3); C(3; 2;2) và D(1; 1; 1). Tính chiều cao DH của tứ diện

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

+ Diện tích tam giác ABC là:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1); B(2;1;2); E(-1; 2; -2) và D(3; 1; 2). Khoảng cách từ A đến mp (DCGH) bằng

A. √3    B. √3/3    C. 2√3    D. 1/3

Hướng dẫn giải:

Thể tích của hình hộp ABCD.EFGH là:

+ Lại có:

+ Mặt khác

Chọn B

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;1; -1); B(3;0;1); C( 2; -1; 3), điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:

A. (0; -7; 0)    B. (0; -7; 0) hoặc (0; 8; 0)

C.(0; 8; 0)    D. (0; 7; 0) hoặc (0; - 8; 0)

Hướng dẫn giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D( 0; y; 0).

Ta có: AB→(1;-1;2), AC→(0;-2;4); AD→(-2;y-1;1)

[AB→,AC→] = (0; -4; -2); [AB→,AC→]AD→ = 0.(-2)+ (- 4). (y - 1)+ (-2).1= 2- 4y

Do thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 nên ta có :

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn là D₁ (0; -7; 0) và D₂(0; 8; 0)

Chọn B.