Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho ad/db = ce/ea
Câu hỏi:
Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho . Chứng minh rằng: Trung điểm M của đoạn thẳng DE nằm trên 1 đoạn thẳng cố định.
Trả lời:
Ta có:
Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F (EF // BC)
Theo định lý ta-lét ta có:
Suy ra:
Lại có: EF // AB nên EF // AD
Suy ra: ADFE là hình bình hành
Mà ADFE là hình bình hành có M là trung điểm của đường chéo DE nên M cũng là trung điểm của AF
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC
Suy ra: IJ là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ IJ // BC (1)
Tam giác ABF có I là trung điểm AB, M là trung điểm AF nên IM là đường trung bình của tam giác ABF
⇒ IM // BC (2)
Từ (1) và (2): I, M, J thẳng hàng
Vậy M nằm trên IJ
Mà tam giác ABC cố định, nên IJ cố định, vậy M cố định.
