Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a^2 + b^2

Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = $\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số không âm, ta có:

a² + b² ≥ 2ab

b² + c² ≥ 2bc

a² + c² ≥ 2ac

Cộng vế ta được:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇒ 3(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca) + a² + b² + c²

⇒ 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²

Mà a² + b² + c² = 1 nên (a + b + c)² ≤ 3, hay a + b + c ≤ $\sqrt 3$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia, có:

${\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)^2} \le \left( {a + b + b + c + c + a} \right).3$

⇒ Q² ≤ 2(a + b + c).3

⇒ Q² ≤ 6$\sqrt 3$

Suy ra: Q ≤ $\sqrt[4]{{108}}$

Vậy GTLN của Q là $\sqrt[4]{{108}}$ khi $\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.