X

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a^2 + b^2


Câu hỏi:

Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số không âm, ta có:

a2 + b2 ≥ 2ab

b2 + c2 ≥ 2bc

a2 + c2 ≥ 2ac

Cộng vế ta được:

2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)

3(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2

3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2

Mà a2 + b2 + c2 = 1 nên (a + b + c)2 ≤ 3, hay a + b + c ≤ \(\sqrt 3 \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia, có:

\({\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)^2} \le \left( {a + b + b + c + c + a} \right).3\)

Q2 ≤ 2(a + b + c).3

Q2 ≤ 6\(\sqrt 3 \)

Suy ra: Q ≤ \(\sqrt[4]{{108}}\)

Vậy GTLN của Q là \(\sqrt[4]{{108}}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Xét xem dãy un = 3n – 1 có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.

Xem lời giải »


Câu 2:

Một vé xem phim có mức giá là 60000 đồng. Trong dịp khuyến mãi cuối năm 2018, số lượng người xem phim tăng lên 45% nên tổng doanh thu cũng tăng 8,75%. Hỏi rạp phim đã giảm giá mỗi vé bao nhiêu % so với giá bán ban đầu?

Xem lời giải »


Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức: P = (x – 10)2 – x(x + 80) tại x = 0,87.

Xem lời giải »


Câu 4:

Tính giá trị biểu thức A = 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2.

Xem lời giải »


Câu 5:

Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.

Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2

Xem lời giải »


Câu 6:

Chứng minh rằng n2 – n chia hết cho 2 với mọi n ℤ.

Xem lời giải »


Câu 7:

An có 90 bút bi và 150 quyển vở muốn chia thành các phần thưởng để ủng hộ học sinh nghèo, sao cho số bút và vở trong các phần thưởng là như nhau. Hỏi An chia được bao nhiêu số phần thưởng trong khoảng từ 5 đến 30 phần thưởng?

Xem lời giải »