Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và AB = AC

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và AB = AC=a, SA = SB = SC = 3a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là 60^o. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Thể tích khối chóp G.ABC là:

A. $\frac{6 a^{3} \sqrt{3}}{25}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{54}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{5 \sqrt{5}}$

Trả lời:

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC

Do $∆ S B C$ cân tại S, nên $S M ⊥ B C$

$∆ A B C$ cân tại A nên $A M ⊥ B C$

$\Rightarrow B C ⊥ (S A M)$

Kẻ $S H ⊥ A M$

Mà $S H \subset (S A M)$

$\Rightarrow S H ⊥ B C$

$\Rightarrow S H ⊥ (A B C)$

Vi SA = SB = SC nên H là trọng tâm tam giác ABC.

Xét $∆ A B C$ vuông cân tại A, có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

$\Rightarrow A M = \frac{1}{2} B C = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow H M = \frac{1}{3} A M = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{6}$

Ta có: $\hat{((S B C); (A B C))} = \hat{S M H} = 60 °$

Xét $∆ S H M$ vuông tại H, $S H = \tan \hat{S M H} . H M = \tan 60 ° . \frac{a \sqrt{2}}{6} = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Thể tích hình chóp SABC là: $V_{S A B C} = \frac{1}{3} . a^{2} . \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a^{3}}{3 \sqrt{6}}$

Theo tỉ số thể tích ta có: $\frac{V_{G A B C}}{V_{S A B C}} = \frac{G K}{S K} = \frac{1}{3}$ ( với K là trung điểm AB)

$\Rightarrow V_{G A B C} = \frac{1}{3} V_{S A B C} = \frac{a^{3}}{9 \sqrt{6}} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{54}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Một hình chóp có 40 cạnh. Hình chóp đó có bao nhiêu mặt?

Xem lời giải »

Câu 2:

Trong số các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Xem lời giải »

Câu 4:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. SA = 2AD = 2a. Góc giữa mp(SBC) và mặt đáy là 45o. Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách từ M đến mp(SBD) là:

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Biết thể tích của khối chóp S.BMN là $a^{3}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A}$ = 60^o, SA = 2SB = 3SC = 3a. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết SA = SB = a và góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng 60^o. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và AB = AC

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: