Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B

Câu hỏi:

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng $60^{o}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{8}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

Trả lời:

Chọn B

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra $S D ⊥ (A B C)$ .

Ta có $S D ⊥ A B$ và $S B ⊥ A B (g t)$ , suy ra $A B ⊥ (S B D) \Rightarrow B A ⊥ B D$ .

Tương tự có $A C ⊥ D C$ hay tam giác ACD vuông ở C.

Dễ thấy $∆ S B A = ∆ S C A$ (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB=SC. Từ đó ta chứng minh được $∆ S B D = ∆ S C D$ nên cũng có DB=DC.

Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc $\hat{B A C}$ .

Ta có $\hat{D A C} = 30^{o}$ , suy ra $D C = \frac{a}{\sqrt{3}}$ . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là $\hat{S B D} = 60^{o}$ suy ra $\tan \hat{S B D} = \frac{S D}{B D} \Rightarrow S D = B D \tan \hat{S B D} = \frac{a}{\sqrt{3}} . \sqrt{3} = a$
Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{∆ A B C} . S D = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A, $\hat{B A C} = 120^{o}$ và BC =AA' = a $\sqrt{3}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho khối lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AC = AB = 2a, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) bằng 30⁰. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a \sqrt{3}$ . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=4a. Tìm thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc $\hat{A B C} = 30^{o}$ ; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a $\sqrt{3}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho $\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = k$ . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMN bằng $\frac{1}{8}$

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: