Cho phương trình 5^x+m=log59x-m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (-20,20) để phương trình đã cho có nghiệm?

Cho phương trình  $5^x+m={\log }_5\left(x-m\right)$với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left(-20;20\right)$  để phương trình đã cho có nghiệm?

Chọn B.

Điều kiện   $x>m$

Ta có  $5^x+m={\log }_5\left(x-m\right)\iff 5^x+x=x-m+{\log }_5\left(x-m\right)\iff 5^x+x=5^{{\log }_5\left(x-m\right)}+{\log }_5\left(x-m\right)$.

Xét hàm số $f\left(t\right)=5^t+t$ ,$f^{\text{'}}\left(t\right)=5^t\ln 5+1>0,\forall t\in ℝ$ , do đó từ (1) suy ra $x={\log }_5\left(x-m\right)\iff m=x-5^x$ .

Xét hàm số $g\left(x\right)=x-5^x$ , $g^{\text{'}}\left(x\right)=1-5^x.\ln 5$ , $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x={\log }_5\frac{1}{\ln 5}=-{\log }_5\ln 5=x_0$ .

Bảng biến thiên

Do đó để phương trình có nghiệm thì $m\le g\left(x_0\right)\approx -0,92$ .

Các giá trị nguyên của $m\in \left(-20;20\right)$  là $\left\{-19;-18;\mathrm{...};-1\right\}$ , có  19 giá trị m thỏa mãn.