Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC.

Đặt AB = c, AC = b, BC = a

Ta có: $\cos \widehat{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{{11}^2-2ac-b^2}{2ac}$

⇔ $\frac{1}{2}=\frac{{11}^2-2ac-b^2}{2ac}$

⇔ ac = 11² – 2ac – b²

⇔ 3ac = 11² – b² (1)

Lại có: $r=\frac{2S_{ABC}}{a+b+c}=\frac{2.\frac{1}{2}.a.c.\sin \widehat{B}}{11+b}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}ac}{11+b}$

⇔ $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}ac}{11+b}$

⇔ $\frac{4}{3}\left(11+b\right)=ac\left(2\right)$

Từ (1) và (2): 4(11 + b) = (11 + b)(11 – b)

⇔ (11 + b)(4 – 11 + b) = 0

⇔ b = 7 (vì b > 0)

Suy ra: ac = 24

Mà a + c = 11

⇒ $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=8\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=8\\ c=3\end{array}\right.\end{array}\right.$

Suy ra: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right).r=\frac{1}{2}.\left(11+7\right).\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}$

Lại có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC\Rightarrow AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}$

Nếu a = 8 thì $AH=\frac{2.\frac{18}{\sqrt{3}}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nếu a = 3 thì $AH=\frac{2.\frac{18}{\sqrt{3}}}{3}=4\sqrt{3}$