Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có trung tuyến AM. Kẻ MN vuông góc với

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có trung tuyến AM. Kẻ MN vuông góc với AB, và MP vuông góc với AC (N thuộc AB; P thuộc AC).

a) Tứ giác ANMP là hình gì? vì sao?

b) Chứng minh: NA = NB, PA = PC và tứ giác BMPN là hình bình hành.

c) Gọi E là trung điểm của BM, F là giao điểm của AM và PN. Chứng minh tứ giác ABEF là hình thang cân.

Trả lời:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có trung tuyến AM. Kẻ MN vuông góc với (ảnh 1)

a/ MP ⊥ AC; NA ⊥ AC ⇒ MP // NA

MN ⊥ AB; PA ⊥ AB ⇒ MN // PA

⇒ ANMP là hình bình hành

Ta có: $\hat{A} = 90 °$

⇒ ANMP là hình chữ nhật

b/ MN // PA (cmt) ⇒ MN // AC

MB = MC (gt)

⇒ NA = NB

C/m tương tự cũng có PA = PC

Ta có: MP//NA (cmt) ⇒ MP//NB

NA = NB; PA = PC

⇒ NP là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ NP // BC ⇒ NP // MB

⇒ BMPN là hình bình hành

c/ Xét hình chữ nhật ANMP có

FM = FA

EM = EB (gt)

⇒ EF là đường trung bình của tam giác MAB

⇒ EF // AB

⇒ ABEF là hình thang

Ta có: MB = MC

⇒ $A M = M B = M C = \frac{1}{2} B C$

Ta có: $F M = F A = \frac{A M}{2}$

$E B = E M = \frac{B M}{2}$

⇒ FA = EB

⇒ ABEF là hình thang cân.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 70 °$ , các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính $\hat{B I C}$

Cho tam giác ABC có góc A= 70 độ, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I (ảnh 1)

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho tam giác ABC có $\hat{C} = 90 °$ . Kẻ đường cao CH. Biết HB - HA = AC. Tính $\hat{A}, \hat{B}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK = $\sqrt{7}$ , diện tích tứ giác ABHK bằng 7 lần diện tích tam giác CHK. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Xem lời giải »

Câu 6:

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm, góc C = 40°. Hãy tính các độ dài phân giác BD.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm,