Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D∈ BC)
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D∈ BC).
a) Chứng minh BA = BD.
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ΔABC = ΔDBE
c) Kẻ DH⊥ MC (H∈ MC) và AK⊥ ME (K ∈ ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc .
d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.
Trả lời:
a) Xét 2 tam giác vuông ΔABM và ΔDBM có:
BM chung
(do BM là phân giác)
⇒ΔABM = ΔDBM (cạnh huyền- góc nhọn)
⇒ BA = BD (hai cạnh tương ứng)
b) Xét 2 tam giác vuông ΔABC và ΔDBE có:
BA = BD (chứng minh ở câu a)
chung
⇒ ΔABC = ΔDBE (cạnh góc vuông- góc nhọn)
c) Xét 2 tam giác vuông ΔAMK và ΔDMH có:
AM = DM (hai cạnh tương ứng do ΔABM = ΔDBM)
(đối đỉnh)
⇒ ΔAMK = ΔDMH (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ MK = MH (hai cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông ΔMNK và ΔMNH có:
MK = MH (cmt)
MN chung
⇒ ΔMNK = ΔMNH (c.g.c)
⇒ (hai góc tương ứng)
⇒ NM là tia phân giác của (đpcm) (1)
d) Do AK = DH (hai cạnh tương ứng ΔAMK = ΔDMH)
KN = HN (hai cạnh tương ứng ΔMNK = ΔMNH)
⇒ AN = AK + KN = DH + HN = DN
Xét ΔABN và ΔDBN có:
AB = DB (cmt)
BN chung
AN = DN
⇒ΔABN = ΔDBN (c.c.c)
⇒ (hai góc tương ứng)
⇒ NB là tia phân giác (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, M, N thẳng hàng.
