Chứng minh rằng nếu 5(m + n)2 + mn ⋮ 441 thì mn ⋮ 441 (m, n ∈ ℤ)
Câu hỏi:
Chứng minh rằng nếu 5(m + n)2 + mn ⋮ 441 thì mn ⋮ 441 (m, n ∈ ℤ)
Trả lời:
Từ giả thiết 5(m + n)2 + mn ⋮ 441
Mà 441 = 212 nên 5(m + n)2 + mn ⋮ 21
Ta có: 5(m + n)2 + mn = 5m2 + 11mn + 5n2 = 5m2 – 10mn + 5n2 + 21mn ⋮ 21
Hay 5(m – n)2 + 21mn ⋮ 21
Mà 21mn ⋮ 21 nên 5(m –n)2 ⋮ 21
Và (5;21) = 1 nên (m – n)2 ⋮ 21
Suy ra: m – n ⋮ 21
⇒ (m – n)2 ⋮ 441
⇒ 5(m – n)2 ⋮ 441
Kết hợp với 5(m + n)2 + mn ⋮ 441
⇒ 5(m + n)2 + mn - 5(m – n)2 ⋮ 441
Hay 21mn ⋮ 441, suy ra mn ⋮ 441
