Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có: cos2A + cos2B + cos2C

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh AH vuông góc với BC.

b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tính giá trị biểu thức: \(\frac{{2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} + \sqrt 6 - 3}}{{2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} - \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\).

Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By tại D.

a) Chứng minh \[\widehat {COD} = 90^\circ \].

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ đường tròn (I) bán kính IC. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I).

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?

b) Chứng minh DE = \(\frac{1}{2}BC\).

c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.

d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?

Cho biểu thức B = \(\frac{{{a^2} - 3a\sqrt a + 2}}{{a - 3\sqrt a }}\). Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

Điền số thích hợp vào chỗ chấm

a) 2,5 tấn = …kg

5,4 tấn = …kg

1,2 kg = …g

3,2 yến = ...kg

0,96 tấn = ...kg

3,72 tấn = ...tạ

0,12 kg = …g

2,2 hg = ...dag

5,4 tạ = …yến

3,39 tấn = …yến

0,5 yến = ....kg

2,2 hg = …g

b) 4 987m² = …dam²...m²

320 060 dam² = ...km²…m²

125 600 m² = ...hm²…dam²

9 028 007 m² = …km²… m²

c) 5m² 16dm² = ….m²

7m² 5cm² = ...m2

68m² = …m²

693000 m² = …ha

0,235 km² = …ha

25m² 7dm² = ….m²

15km² 68hm² = ….km²

2002cm² = ….m²

500 m² = …ha

0,058 km² = …ha

9km² 6dam² = …km²

75m² 7dm² = …m²

68063 m² = … ha

400 ha = ….km²

Có 7 quả cam, chia đều cho 10 người. Làm thế nào để chia được mà không phải cắt bất kì quả cam nào thành 10 phần bằng nhau?

Không thực hiện tính tổng, chứng minh rằng A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰ chia hết cho 5.