Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Toán lớp 12
Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Với Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập lượng giác của số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:
+ Tìm một acgumen của số phức z là φ
+ Tính môđun của số phức z: |z| = r =
.
+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?
A. z = 6√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 6(cos
+ i.sin
)
C. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: |z| = r = 
= 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ =
.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos
+ i.sin
)
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?
A. 10.(cosπ + isinπ)
B. 10.(cos 0 + i.sin0)
C. 10√2(cos
+ i.sin
)
D. 10√2(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.
Ví dụ 3: Viết số -
dưới dạng lượng giác.
A. -
(cos0 + i.sin0)
B.
(cos-2π + i.sin-2π)
C.
(cosπ + i.sinπ)
D. -
(cos3π + i.sin3π)
Lời giải:
Số -
có mô đun là
, có một acgumen là π nên số đó có dạng lượng giác là:
-
=
(cosπ + i.sinπ)
Chọn C.
Ví dụ 4: Viết số phức z =
dưới dạng lượng giác?
A. 
[cos(-
) + isin(-
)]
B.
[cos(-
) + isin(-
)]
C. 
[cos(
) + isin(
)]
D.
[cos(
) + isin(
)]
Lời giải:
Ta có: z =
= 
= 
Ta có |z| = 
=
Một acgumen là φ thỏa mãn:
cosφ = 
; sinφ = -
⇒ φ = -
Do đó ,dạng lượng giác của số phức z là:
z =
=
[cos(-
) + isin(-
)] .
Chọn B.
Ví dụ 5: Viết số phức z = 100i dưới dạng lượng giác?
A. z = 100.√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 100.
(cos
+ i.sin
)
C. z = 100.√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 100(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: |z| = 
= 100
Gọi φ là một acgumen của z thì φ thỏa mãn: cosφ = 0; sinφ = 1 ⇒ φ =
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là :
z = 100(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)
Thì
z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]
= 
.[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)
A. z = 2√2[cos(- 
) + i.sin(-
)]
B. z = 2[cos(-
) + i.sin(-
)]
C. z = 
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có:
1 - i√3 = 2.[cos(- 
) + isin(-
)]
1 + i = √2[cos
+ i.sin
]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:
z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 2[cos-
+ i.sin-
]
B. 2√2[cos
+ i.sin
]
C. √2[cos-
+ i.sin-
]
D. 
[cos
+ i.sin
]
Lời giải:
Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos
+ i.sin
]
Và 1 + √3i = 2.[cos
+ i.sin
]
Do đó: z =
= 
= √2[cos-
+ i.sin-
]
Chọn C.
Ví dụ 3: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos
+ i.sin
)
B.
(cos-
+ i.sin-
)
C. 
(cos-
+ i.sin-
)
D.
(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: 3 = 3.(cos0 + i.sin0)
10√3 + 10i = 20.(cos
+ i.sin
)
Do đó, z =
= 
=
(cos-
+ i.sin-
)
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
[cos(
) + i.sin(
)]
B. 
[cos(
) + i.sin(
)]
C.
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: √3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
2 + 2i = 2√2.(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + 1)(2 + 2i) = 4√2(cos
+ i.sin
)
Lại có; 1 - i = √2.(cos(-
) + i.sin(-
))
Suy ra:
z =
= 
.[cos(-
-
) + i.sin(-
-
)]
=
[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn C.
Dạng 3: Công thức Moa-vro
1. Phương pháp giải
* Công thức Moa- vro
Cho số nguyên dương n ta có;
[r(cosφ + i.sinφ)]n = rn(cos(nφ) + i.sin(nφ))
Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)n = cos(nφ) + i.sin(nφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)10
A. 25(cos
+ i.sin
)
B. 210(cos
+ i.sin
) .
C. 25(cos(-
) + i.sin(-
) )
D. 210(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: √2 + √2i = 2.(cos
+ i.sin
)
Do đó,
z = (√2 + √2i)10 = [2.(cos
+ i.sin
)]10
= 210(cos
+ i.sin
)
= 210.(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
B.
(cos(-3π) + i.sin(-3π))
C.
(cos(2π) + i.sin(2π))
D.
(cos(-4π) - i.sin(-4π))
Lời giải:
* Ta có:
1 - i = √2(cos(-
) + i.sin(-
))
⇒ (1 - i)10
= √210.[cos(-10.
) + i.sin(-10.
)]
= 25[cos(-
) + i.sin(-
)]
* Lại có:
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + i)9 = 29.(cos9.
+ i.sin9.
)
= 29.(cos
+ i.sin
)
* Do đó,
z =
= 
=
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho số phức sau
(cos
- i.sin
)i5(1 + √3i)7
Tìm phần ảo của số phức.
A. 64 B. 128 C. 256 D. 32
Lời giải:
Ta có: 1 + √3i = 2.(cos
+ i.sin
) và i4 = 1 nên ta có:
(cos
- i.sin
)i5(1 + √3i)7
= (cos
- i.sin
).i.[2(cos
+ i.sin
)]7
= 27(cos(-
) + i.sin(-
)).i.[(cos
+ i.sin
)]
= 27[cos2π + isin2π]i = 27i
Vậy phần ảo bằng 27 = 128.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tính số phức sau:
A. 1+ i B. 2 + 2i C. – 1 D. 2i
Lời giải:
* Ta có: 1 - i = √2.(cos(-
) + i.sin(-
))
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
-1 - i√3 = 2(cos
+ i.sin
)
* Do đó:
z = 
= 
= 
= cos(-15π) + i.sin(-15π) = -1
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho số phức z = 1 - cos
+ i.sin
.Tính z1012
A. (2sin
)2012(
+
i)
B. (2sin
)2012(
+
i)
C. (2sin
)2012(
+
i)
D. (2sin
)2012(
+
i)
Lời giải:
Ta có:
z = 2sin2
+ 2isin
cos
= 2sin
(sin
+ icos
)
= 2sin
(cos
+ isin
)
⇒ z2012
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)2012
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)
= (2sin
)2012(
+
i)
Chọn A.
Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0?
A. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
B. z = -1; z = 1 +
i ; z = - 1 -
i ; z =
-
i ; z = -
+
i .
C. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
- √3i ; z = -
+ √3i.
D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = -
-
i ; z = 1 - √3i ;
z = -
+
i .
Lời giải:
Ta có: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
⇔ z4.(z + 1) + z2.(z + 1) + (z+ 1) = 0
⇔ ( z+1).(z4 + z2 + 1) = 0
⇔ 
Xét phương trình: z4 + z2 + 1 = 0 (*)
Đặt t = z2, khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + t + 1 = 0 (**)
Có ∆ = 12 – 4.1.1 = - 3.
Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t =
⇒ z2 =
⇔ 
Từ z2 = cos
+ isin
⇒ 
Từ z2 = cos(-
) + isin(-
)
⇒ 
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
Chọn A.
Ví dụ 2: Giải phương trình z6 + 64= 0 ?
A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i
B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i
D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Lời giải:
Ta có: : z6 + 64 = 0 ⇔ z6 = - 64.
+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)
⇒ z6 = r6.(cos6φ + isin6φ) (1)
+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z6 = -64 (2)
Từ (1), (2)
⇒ r6(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r6 = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).
Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)
⇒ φ =
+ 2k
Với k = 0 ⇒ z1 = 2(cos
+ isin
) = √3 + i
Với k = -1
⇒ z2 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = √3 - i
Với k = 1 ⇒ z3 = 2(cos
+ isin
) = 2i
Với k = -2
⇒ z4 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = -2i
Với k = -3
⇒ z5 = 2(cos(- 
) + isin(-
)) = - √3 - i
Với k = 4
⇒ z6 = 2(cos
+ isin
) = - √3 + i
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
Chọn B ..
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n và n ∈ [1; 10] sao cho số phức z = (1 + i√3)n là số thực. Số phần tử của tập S là?
A. 2 B.3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Ta có: 1 + i√3 = 2(cos
+ isin
)
⇒ z = 2n(cos
+ isin
)
Để z ∈ R ⇒ 2n.sin
= 0 ⇒ sin
= 0
⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương
n ∈ [1;10]
⇒ n ∈ {3;6;9}.
Do đó, tập S có ba phần tử.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm số phức z sao cho z5 và
là hai số phức liên hợp ?
A. z1 = 1; z2 =
+
i; z3 =
-
i
B. z1 = - 1; z2 =
+
i; z3 = -
-
i
C. z1 = 1; z2 = -
+
i; z3 = -
-
i
D. Đáp án khác.
Lời giải:
* Gọi dạng lượng giác của số phức z là:
z = r(cosφ + i.sinφ)
⇒ z5 = r5(cos5φ + i.sin5φ);
z2 = r2(cos2φ + i.sin2φ)
⇒ 
= r5(cos5φ - i.sin5φ)
= r5(cos(-5φ) + i.sin(-5φ))
*
= 
= 
[cos(-2φ) + i.sin(-2φ)]
* Do đó z5 và
là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi
=
Hay là: r5(cos(-5φ) + i.sin(-5φ))
=
[cos(-2φ) + i.sin(-2φ)]
⇔ 
⇒ z = cos
+ i.sin
Vì φ ∈ [0; 2π] nên k ∈ {0; 1; 2}
Vậy số phức cần tìm là
z = cos
+ i.sin
với k ∈ {0; 1; 2}
Hay z1 = 1; z2 = -
+
i; z3 = -
-
i
Chọn C.
Ví dụ 5: Tính S1 = 
- 
+ 
- 
+ 
- ...
A. (√2)ncos
B. 2ncos
C. (√2)ncos
D. 2ncos
Lời giải:
Xét khai triển nhị thức Newton:
(1 + i)n =
+ i.
+ i2.
+ i3.
+ i4.
+ ...
+ in-1.
+ in.
Vì ik = 
m ∈ Z+ nên ta có:
(1 + i)n =
-
+
- ... + i(
-
+ 
- ...); (1)
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(1 + i)n = (√2)n(cos
+ i.sin
)n
= (√2)n(cos
+ i.sin
) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
S1 =
-
+
-
+
- ...
= (√2)ncos
Chọn A
