Giải phương trình: tan2x + cot2x = 1 + cos^2 (3x + pi/4)
Câu hỏi:
Giải phương trình: tan2x + cot2x = 1 + \({\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Trả lời:
ĐKXĐ: cosx ≠ 0; sinx ≠ 0
Xét VT = tan2x + cot2x = (tanx – cotx)2 + 2 ≥ 2
Lại có \({\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1,\forall x\)
⇒ \(1 + {\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 2,\forall x\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}\tan x = \cot x\\{\cos ^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = k\pi \end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\end{array} \right.\)⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
