Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm f(x)= x^2.e^(ax)

Câu hỏi:

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm $f (x) = x^{2} e^{α x} (α \neq 0)$ sao cho $F (\frac{1}{α}) = F (0) + 1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $1 < α < 2$

B. $α < - 2$

C. $α \geq 3$

D. $0 < α \leq 1$

Trả lời:

Đáp án D

Ta có $F (x) = \int x^{2} e^{α x} d x = \frac{1}{α} \int x^{2} d (e^{α x}) = \frac{1}{α} [x^{2} e^{α x} - \int e^{α x} 2 x d x]$

$= \frac{1}{α} (x^{2} e^{α x} - \frac{2}{α} \int x d (e^{α x})) = \frac{1}{α} (x^{2} e^{α x} - \frac{2}{α} (x e^{α x} - \int e^{α x} d x))$

$= \frac{1}{α} (x^{2} e^{α x} - \frac{2}{α} x e^{α x} + \frac{2}{α^{2}} e^{α x}) + C$

$F (\frac{1}{α}) = \frac{1}{α} (\frac{1}{α^{2}} e - \frac{2}{α^{2}} e + \frac{2}{α^{2}} e) + C = \frac{1}{α^{3}} e + C$

$F (0) = \frac{1}{α} . \frac{2}{α^{2}} + C$

Theo giả thiết $F (\frac{1}{α}) - F (0) = \frac{e - 2}{α^{3}} = 1 \Rightarrow α^{3} = e - 2 \Rightarrow α = \sqrt[3]{e - 2} \Rightarrow 0 < α \leq 1$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ là

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hàm số thỏa mãn $f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π); f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ . Tìm $\int f (x) d x$

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) e^{x}$ là

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = \{\begin{cases} e^{x} khi x \geq 0 \\ e^{- x} khi x < 0 \end{cases}$ và $f (4) = e$ . Đặt $S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn $f' (x) + x f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ và $f (0) = - 2$ . Tính f(1)

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm f(x)= x^2.e^(ax)

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: