Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay - Toán lớp 12
Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay
Tài liệu Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về mặt tròn xoay từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.
A. Tóm tắt lý thuyết
I. MẶT NÓN
1. Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0o < β ≤ 90o . Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).
- Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
- Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay
Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
- Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
- Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.
3. Công thức diện tích hình nón và thể tích khối nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:
- Thể tích khối nón: 
.
4. Tính chất:
- TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mp(P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.
+ Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
- TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mp(Q) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mp(Q) song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.
II. MẶT TRỤ
1. Mặt trụ tròn xoay
Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
- Đường thẳng Δ được gọi là trục.
- Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
- Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2. Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
- Đường thẳng AB được gọi là trục.
- Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
- Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
- Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.
- Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3. Công thức tính diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng r, khi đó:
- Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh
- Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2.SĐay = 2πrh + 2πr2
- Thể tích khối trụ: V = B.h = πr2h
4. Tính chất:
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên α và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 00 < φ < 900.
- Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng d.
+ Nếu d < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu d = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu d > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.
