Lý thuyết Mặt cầu - Toán lớp 12
Lý thuyết Mặt cầu
Tài liệu Lý thuyết Mặt cầu Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Mặt cầu từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}
2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:
- Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = -OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.
- Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.
- Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.
⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.
- Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính 
(hình a).
- Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).
- Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:
- Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).
- Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.
- Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:
- Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).
- Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
- Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).
5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Diện tích mặt cầu: SC = 4πR2.
• Thể tích mặt cầu: VC = (4/3)πR3.
B. Kĩ năng giải bài tập
I. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1. Các khái niệm cơ bản
* Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
* Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
* Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
* Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
* Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a) Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC'.
- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
⇒ Bán kính: R = AC'/2 .
b) Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3...An.A'1A'2A'3...A'n , trong đó có 2 đáy A1A2A3...An và A'1A'2A'3...A'n nội tiếp đường tròn (O) và (O'). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
- Tâm: I với I là trung điểm của OO'.
- Bán kính: R = IA1 = IA2 = ... = IA'n .
c) Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
- Hình chóp S.ABC có 
.
+ Tâm: I là trung điểm của SC.
+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC. .
- Hình chóp S.ABCD có
+ Tâm: I là trung điểm của SC.
+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC = ID.
d) Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều S.ABC ...
- Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.
- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp(SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.
- Bán kính:
Ta có: 
Bán kính là:
e) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp S.ABC... có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC...) và đáy ABC... nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC... được xác định như sau:
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC...) tại O.
- Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = ...
- Tìm bán kính:
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét ΔMAI vuông tại M có:
f) Hình chóp khác
- Dựng trục Δ của đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
- (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
g) Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S.A1A2...An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên.
Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu: Δ ∩ mp(α) = {O}
- Bán kính: R = SA (= SO) . Tuỳ vào từng trường hợp.
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: ∀M ∈ Δ: MA = MB = MC
Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ Δ
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng Δ vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
ΔSMO đồng dạng với ΔSIA 
.
4. Nhận xét quan trọng:
⇒ SM là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
Ví dụ: Cho 
. Theo đề bài: 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi là trung điểm SC ⇒ I là tâm MCNT khối chóp và bán kính R = SI.
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
+ Vẽ SG ⊥ (ABC) thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
+ Trên mặt phẳng (SGC) , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC và bán kính R = IS.
+ Ta có 
Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Mặt bên (SAB) ⊥ (ABC) và ΔSAB đều. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC .
Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC (do MA = MB = MC ).
Dựng d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC (d1 qua M và song song SH).
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB và d2 là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB, d2 cắt d1 tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
⇒ Bán kính R = SI. Xét 
