Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa cực hay - Toán lớp 12

---

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa cực hay

Với Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

   + Nếu hàm số đơn điệu trên một đoạn thì GTLN, GTNN đạt được tại các đầu mút của đoạn.

   + Nếu hàm số không đơn điệu thì tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc.

   1. Tìm các điểm x1, x2, …, xn trên các khoảng (a;b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’

   2. Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b).

   3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [3; 15].

   A.64

   B. 8

   C. 6

   D. 3

Lời giải:

   Do đó hàm số đồng biến trên [3; 15]

   Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x= 15 và M= y(15)=64.

   Chọn A.

Câu 2: Gọi m là số thực để hàm số y= (x+m)³ đạt giá trị lớn nhất bằng 8 trên đoạn [1;2]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

   A.

   B.

   C.

   D.

Lời giải:

    Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [1;2]

   Do đó; hàm số đạt GTLN tại x=2

   Theo yêu cầu bài toán thì y(2) =8 khi và chỉ khi(2+ m)³= 8 hay m=0

   Chon C.

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x³-ln( 3-4x) trên đoạn [-2; 0]

   A: Max y=8; min y=1-ln4

   B: max y=8-ln11; miny=1/8-ln4

   C: max y=8+ln11; min y=-ln4

   D: max y=8+ln 4; min y=4+ln11

Lời giải:

   Ta có:

   Xét f(x) trên khoảng từ [ -2; 0] ta có: f’ 9x) =0 khi x = -1/4 .

    Hàm số liên tục và khả vi trên đoạn [ -2; 0]

   Ta có: f(-2)= 8-ln 11; f(0) = -ln3; f(-1/4)= 1/8 – ln4

   Do vậy GTLN là 8-ln11 khi x= -2 và GTNN là 1/8- ln4 khi x= -1/4

   Chọn B.

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1 ;3]

    A.

    B.

    C.

    D.

Lời giải:

   Ta có có

   Do đó hàm số đã cho đồng biến trên [1 ; 3].

   Do đó

   Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= x+ e^-x trên đoạn [ -1 ;1] là:

   A.

   B. T= e

   C.

   D. T= 2-e

Lời giải:

   Ta có: y’ =1-e^-x và y’ =0 khi x=0.

   Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [-1 ; 1]

   Ta có: y(-1)= -1+e ; y(0)= 1 ; y(1)=1+ 1/e .

   Do đó

   Vậy T= e.

   Chọn B

Câu 2:Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e^x2-2x+3 trên đoạn [0 ; 2] là:

   A.e³- e

   B.e³- e²

   C. E³

   D. e³+ e

Lời giải:

   Đạo hàm

    Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [0 ; 2]

   Mặt khác y(0) = e³; (1) = e²; y(2) =e³ .

   Do đó

   Chọn B

Câu 3:Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của làm số y= xlnx trên đoạn là:

   A. T= e

   B.

   C.

   D.

Lời giải:

   Ta có: y’ = lnx+1 và y’ =0 khi và chỉ khi x= e^-1 .

   Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn

   Mặt khác

   Do đó

   Do đó T= e-1/e

   Chọn D

Câu 4:Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 2] là:

   A. √7−-4ln2

   B. 4ln2-2√7−

   C. 4ln2-4√7−

   D. 2√7−-4ln2

Lời giải:

   Ta có:

   Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [1 ;2]

   Khi đó

   Do đó P= 2√7−-4ln2

   Chọn D

Câu 5:Cho hàm số y= ln(3-x)+ ln(x+1). Khẳng định nào sau đây là đúng.

   A. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất

   B. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2ln2

   C. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 2ln2

   D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2ln2 và giá trị nhỏ nhất là 0

Lời giải:

   Ta có:D= (-1 ; 3) khi đó

   Khi đó; y’ =0 khi x=1

   Mặt khác

   Do đó hàm số có giá trị lớn nhất là 2ln2 và không có giá trị nhỏ nhất.

   Chọn B

Câu 6:Gọi M; N lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y= ln( x+ √x²−+4) trên đoạn [0; √5−] Khi đó tổng M+ N là

   A.ln 5

   B.

   C.ln 6

   D. Kết quả khác

Lời giải:

   Ta có : với mọi x.

   Mà y(0) = ln2; y(√5)=ln⁡(3+ √5)→M+N=ln2+ln⁡(3+ √5)=ln 8/(3-√5)

   Chọn B.

Câu 7:Cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên [1; e] bằng – 3. Chọn khẳng định đúng về tham số m

   A.m>2

   B.m>5

   C.m<3

   D.m<0

Lời giải:

   Điều kiện:m≠lnx nên m∉(0;1) vì 1 ≤ x ≤3.

   

   suy ra min y= y(e) =

   Suy ra m=2 ( thỏa mãn điều kiện)

   Chọn C.

Câu 8:Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= 4x-2x+1 trên đoạn [-1 ; 1]

   A.

   B.

   C.

   D.

Lời giải:

   Ta có: y= 2^2x-2.2^x .

   Đặt t= 2^x khi đó ½ ≤ t ≤ 2

   Xét hàm số f(t) =t²- 2t trên đoạn [1/2 ; 2]

   ta có: f’ (t) = 2t-2 và f’ =0 khi t=1

   Hàm số f(t) xác định và liên tục trên đoạn [1/2 ; 2]

   Lại có f(1/2) = -3/4; f(1) = -1; f(2) =0 .

   Do đó

   Chọn D

Câu 9:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= log₂₀₁₇ (10-x) trên đoạn [1; 6] bằng

   A.

   B.

   C.

   D.

Lời giải:

   Ta có

   Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 6].

   Suy ra, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1; 6] bằng

   Chọn C.