Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P=\left|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}\right|.$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z=0.$  Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$  lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0.$  Giả sử $M\in \left(P\right)$  và $N\in \left(S\right)$  sao cho $\overrightarrow{MN}$  cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=(1;0;1)$  và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M\left(0;-1;2\right),N\left(-1;1;3\right)$  và không đi qua điểm $H(0;0;2).$  Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T=a-2b+3c+12$  bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với  A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm $M\left(x;y;z\right)$  thuộc mặt phẳng $\left(Oyz\right)$  sao cho $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức  $P=x+y+z.$

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+2z+1=0.$  Khi đó $\left|MA-MB\right|$  nhận giá trị lớn nhất là