Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): (x+2)/4=(y-1)/-4=(z+2)/3 và

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E (- 2; 1; - 2)$ , song song với $(P)$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (m; n; 1)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T = m^{2} - n^{2}$ .

A. $T = - 5$ .

T = 4

T = 3

T = - 4

Trả lời:

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 1; 2)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{v} = (4; - 4; 3)$ .

$Δ // (P) \Rightarrow \vec{u} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow 2 m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2 m + 2$

Mặt khác ta có: $\cos (\hat{Δ; d}) = \frac{|\vec{u} . \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{|4 m - 4 n + 3|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1} . \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 3^{2}}}$

$= \frac{|4 m + 5|}{\sqrt{41 (5 m^{2} + 8 m + 5)}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{{(4 m + 5)}^{2}}{5 m^{2} + 8 m + 5}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{16 m^{2} + 40 m + 25}{5 m^{2} + 8 m + 5}}$

Vì $0 ° \leq (\hat{Δ, d}) \leq 90 °$ nên $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi và chỉ khi $\cos (\hat{Δ, d})$ lớn nhất.

Xét hàm số $f (t) = \frac{16 t^{2} + 40 t + 25}{5 t^{2} + 8 t + 5} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{- 72 t^{2} - 90 t}{{(5 t^{2} + 8 t + 5)}^{2}}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\max f (t) = f (0) = 5$ .

Suy ra $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi $m = 0 \Rightarrow n = 2$ .

Do đó $T = m^{2} - n^{2} = - 4$ .

Chọn D.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại $A, M$ thuộc $∆$ sao cho $A M = 2 \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

Xem lời giải »

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : x - z . \sin α + \cos α = 0; (Q) : y - z . \cos α - \sin α = 0; α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

Xem lời giải »

Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}

và mặt phẳng

(α) : - x + 2 y - 3 z = 0

. Gọi

φ

là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

(α)

. Khi đó góc

φ

bằng

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}$ . Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ bằng

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{\sqrt{2}} = \frac{z - 3}{1}

và

d_{2} : \frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{\sqrt{2}} = \frac{z - 5}{m}

tạo với nhau góc

60 °

, giá trị của tham số m bằng

Xem lời giải »

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{cases}$ .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): (x+2)/4=(y-1)/-4=(z+2)/3 và

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: