Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^2+(y-3)^2+(z-6)^2=45  và M(1,4,5).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P=\left|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}\right|.$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z=0.$  Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$  lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^2+n^2+p^2=3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left(MNP\right)$  bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0.$  Giả sử $M\in \left(P\right)$  và $N\in \left(S\right)$  sao cho $\overrightarrow{MN}$  cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=(1;0;1)$  và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.