Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):(m^2+1)x-(2m^2-2m

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-5}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x-3y+2z-6=0$.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+my+\left(m^2-1\right)z-7=0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{1}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-y+2z-5=0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x+5y-z-2=0$  là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left(3;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;6\right)$  và $D\left(1;1;1\right)$ . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$  đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{-1}$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2my-2\left(m+1\right)z+m^2+2m+8=0$  là phương trình của một mặt cầu $\left(S\right)$  sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa $∆$ và cắt $\left(S\right)$  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M\left(6;0;0\right),N\left(0;6;0\right),P\left(0;0;6\right)$ . Hai mặt cầu có phương trình $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$  và $\left(S_2\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$  cắt nhau theo đường tròn $\left(C\right)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left(C\right)$  và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$ ? 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,3), B(6,5,5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $\left(P\right):2x+by+cz+d=0$  với $b,c,d\in \mathbb{Z}$ .

Tính $S=b+c+d$ .