Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng - Toán lớp 12

---

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

Bước 2: Tìm giao điểm A = (α)∩d₂

Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, A

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2

Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d₁, d và d₂

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

=> cùng phương =>

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(0; 2; -4) và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₁

Đường thẳng d₁ qua B( 2 ; 1 ; -1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₂

Đường thẳng d₂ qua C( -1; 3; -2) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Do vậy phương trình Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2 : Phương trình đường thẳng Δ đi qua và cắt cả hai đường thẳng là :

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A.

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0 ;3) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 0; -1; 2) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là và đi qua A nên có phương trình tham số là:

Chọn D.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và cắt hai đường thẳng:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Cách 1:

- Một điểm thuộc d₁ là : A (1; 0; 0)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (α) là: 0.(x – 1) + 0. (y – 1) + 1. (z – 0) = 0 hay z = 0

- Giao điểm B = (α)∩d₂ là (0; 0; 0)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 2:

- Tương tự cách 1: Phương trình mặt phẳng (α) là: z = 0

- Một điểm thuộc d₂ là : A (0; 0; 0)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (β) là: (-1) .(x – 1) + 1. (y – 1) + 0. (z – 0) = 0 hay –x + y = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 3:

Gọi A là giao điểm của d và d₁ => A(1+t_1;-t_1;0)

Gọi B là giao điểm của d và d₂ => B(0;0;2+t_2 )

=>

theo đề bài => cùng phương

=>

=>

=> là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (1; 2; 3) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

- đường thẳng d1 có vecto chỉ phương . Một điểm M thuộc d₁ là M (0; -1; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d₂ là N (0; -2; 0)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (3; 3; -2) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C:

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

-Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d1 là : A (1; 2; 0)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (α) là: 7.(x – 1) – 4 . (y – 2) + 5. (z – 0) = 0 hay 7x – 4y + 5z + 1 = 0

- Giao điểm B = (α)∩d₂ là ( -1; 1; 2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là: (BM) ⃗=(4;2; -4) hay chọn vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm I(1 ;1 ;2) hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d₁ ; d₂ là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và chứa d₁

Đường thẳng d₁ đi qua M₁( 3 ; -1 ; 4) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua I và chứa d₂

Đường thẳng d₂ đi qua M₂( -2 ; 0 ;2) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm I(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; -2), đường thẳng và mặt phẳng . Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có .

Do A( 1; 1; -2) là trung điểm của MN nên tọa độ N( 1- 2t; t+ 3; - 4- 3t) .

Mặt khác

Khi đó Δ đi qua A(1; 1; -2) và

Chọn D.

Ví du 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 3; 2); B ( 3; 3; 0) và đường thẳng . Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (1;1;1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Tọa độ trung điểm của AB là: M(2; 3; 1)

Gọi (P) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M₁ (0 ; -2 ;1) có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng Δ đi qua điểm H(1;1; 1) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A( 1; 2;0) và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₁

Đường thẳng d1 qua B(0 ; -1 ;1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₂

Đường thẳng d₂ qua C( 1; -2; 0) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Do vậy phương trình Δ là:

Chọn A.

Câu 2:

Phương trình đường thẳng Δ đi qua A( -1 ; 0 ; 0) và cắt cả hai đường thẳng là :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A.

Đường thẳng d đi qua điểm B(0 ; 2 ; 1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 1;1; -1) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là và đi qua A nên có phương trình tham số là:

Chọn D.

Câu 3:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M ( 3; 3; 3) và cắt hai đường thẳng:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

- Một điểm thuộc d₁ là : A (0; -2; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (α) là: -3.(x – 3) + 1. (y – 3) + 4. (z – 3) = 0 hay – 3x + y+ 4z – 6= 0

- Giao điểm B = (α)∩d2 là ( t; t; 2) thay vào phương trình (α )ta được : - 3t + t+ 4.2 – 6= 0 ⇔ - 2t + 2= 0 ⇔ t= 1 => B( 1; 1; 2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn A

Câu 4:

Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (2; 1; 0) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

- đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương . Một điểm M thuộc d1 là M ( 1; -1; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d₂ là N ( 4; -2; 3)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là chọn ( 3; -6; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 5:

Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (2;1;1) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C:

D.Đáp án khác

Lời giải:

-Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d1 là : A (1; 0; 1)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (α) là: 1.(x – 2) – 1 . (y – 1) + 0. (z – 1) = 0 hay x- y- 1= 0

- Giao điểm B = (α)∩d2 là ( - t; 1+ 2t; 2+ t) thay tọa độ B vào phương trình (α) ta được - t- 1- 2t- 1= 0 ⇔ - 3t – 2= 0 nên

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là: hay chọn vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm O(0; 0; 0) hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d₁ ; d₂ là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi (P) là mặt phẳng qua O và chứa d1

Đường thẳng d1 đi qua M₁(1 ; -2 ; 3) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua O và chứa d₂

Đường thẳng d₂ đi qua M₂(1 ; -1 ; 2) và có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm O(0; 0;0) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 2; 1; 3) , đường thẳng và mặt phẳng (α): 2x+ 3y- z+ 1= 0. Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có .

Do A(2; 1; 3) là trung điểm của MN nên tọa độ N(2- t; 2- t; 5- 2t)

Mặt khác ⇔ 4-2t+ 6 – 3t- 5 + 2t + 1= 0 ⇔ - 3t + 6= 0 ⇔ t=2⇒M( 4;2;5)

Khi đó Δ đi qua A(2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ:

Chọn A.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(0; 1; 0); B ( 2; 1; 4) và đường thẳng .Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (2; 1; - 1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Tọa độ trung điểm của AB là: M( 1; 1; 2)

Gọi (P) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M1 (0 ; 3 ; 1) có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng Δ đi qua điểm H(2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D.