Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng - Toán lớp 12

---

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) .

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥ (α)

+ Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là u_Δ→ = k→ = (0;0;1) .

+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là u_Δ→ = j→ =(0;1;0) .

+Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là u_Δ→ = i→ =(1;0;0) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của Δ là:

B. Phương trình chính tắc của Δ là:

C. Vậy phương trình tham số của Δ là:

D. Phương trình chính tắc của Δ là:

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Phương trình chính tắc của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai?

A. phương trình tham số của Δ là:

B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

C. Điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d

D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P): 2x+ 3y+ z= 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của Δ là: và đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Cho t= 6 ta được điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d.

Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là :

Ta có:

=> Đường thẳng d và mặt phẳng ( P) không vuông góc với nhau.

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x +2y + z + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai?

A. Vậy phương trình tham số của d là:

B. Phương trình chính tắc của d là:

C. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

D. Điểm M( 3; 4; 4) thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= 1 ta được điểm M (3; 4; 4) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y = 5z + 10 . Phương trình chính tắc của của đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1; 3) và vuông góc với (P) là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Phương trình mặt phẳng (P): x- 2y = 5z+ 10 hay x- 2y – 5z – 10= 0

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Vì d vuông góc với (P) nên d có vectơ chỉ phương u→=

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2;1 ;3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn A.

Ví dụ 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng (P):2x- 3y+ 5z= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( Q) là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x- 3y +5z+ D= 0

Khi đó; mặt phẳng (Q) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

Vì d vuông góc với (Q) nên d có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( 2;0; 0); B( 0; -2; 0) và C(0; 0; 3). Một đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) là: hay 3x- 3y+2z – 6= 0

Mặt phẳng ( P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 7 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và song song với đường thẳng . Một đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Đường thẳng d đi qua điểm H( 1; -3; 1) và có vecto chỉ phương

Vecto

+ Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ đi qua M ( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Ví du 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

+ Viết phương trình mặt phẳng (P)

Đường thẳng d₁ đi qua A( 0; 2;0) và có vecto chỉ phương

Đường thẳng d₂ đi qua B( -2; 2; 0) và có vecto chỉ phương

=> và

=> Hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau

Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến là: (0; 4; 1) nên có phương trình: 0( x- 0) + 4( y-2) + 1( z- 0) = 0 hay 4y+ z- 8= 0

+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình đường thẳng d đi qua điểm

A(2; -1; -4) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng ( Oxz) có phương trình là: y= 0 nên có vectơ pháp tuyến .

Vì d vuông góc với (Oxz) nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -1; -4) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 0; 2; -1); B( 2; -3; 1) và C( 1; -2; 0). Phương trình tham số d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:

Ta có:

Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng chọn

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(2;3;2) và B(-2; 3; 4). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:

Ta có;

Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là chọn

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( OAB) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho tam giác ABC có A(1;2; 1); B(0; -1; 2) và C( 2; 3; 0). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có:

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là :

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2 ; 1 ; 9) đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do đường thẳng d đồng thời vuông góc với giá của hai vecto

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;0;1)và song song với đường thẳng . Một đường thẳng Δ đi qua M (2; 1; 3) vàvuông góc với mặt phẳng (P).Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Đường thẳng d đi qua điểm H( 0; -3; 0) và có vecto chỉ phương Vecto

+ Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ đi qua M (2;1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d₁ và d₂. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình mặt phẳng (P): - 10x+ 8y+ 9z - 4= 0

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. PHương trình chính tăc của đường thẳng d:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Lời giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P)

Đường thẳng d₁ đi qua A( 3;2; 2) và có vecto chỉ phương

Đường thẳng d₂ đi qua B( -2; - 2; 0) và có vecto chỉ phương

=>

=> Hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau

Mặt phẳng (P) đi qua A( 3; 2; 2) và có vecto pháp tuyến là: (-10; 8; 9 ) nên có phương trình: - 10( x- 3) + 8( y-2) + 9( z- 2) = 0 hay - 10x + 8y + 9z - 4= 0

+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

=> Đường thẳng d có phương trình chính tắc :

Đường thẳng d có phương trình tham số:

Chọn D.

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) chứa trục Ox và đi qua điểm A( 2; 3; 1). Gọi d là đường thẳng qua M( -2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai

A. Phương trình tham số đường thẳng (d):

B. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là :

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

D. Phương trình mặt phẳng (P) là: - y+ 3z= 0

Lời giải:

+ Trục Ox đi qua điểm O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

Ta có:

=> Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Mặt phẳng ( P) đi qua A( 2; 3; 1 ) và vecto pháp tuyến là:

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 2) – 1( y- 3) + 3( z-1) = 0 hay – y+ 3z=0

+ Do đường thẳng d đi qua M(- 2; 0;1) và vuông góc với (P) nên nhận vecto (0; -1; 3) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn D.