Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng - Toán lớp 12

---

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M

=> Tọa độ của M( ..) ( theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d) .

=> Đường thẳng Δ nhận vecto ( ....) làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( P) nên ta có:

n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t

=> t=...=> tọa độ điểm M

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; -1 ) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): x+ y- z+ 3= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t)=>

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên :

=>> ⇔ 1( 2+ t)+ 1( 1+ 3t)- 1( 2t+ 1) = 0 ⇔ 2+ t+1+ 3t – 2t- 1= 0 ⇔ 2t + 2= 0 ⇔ t= - 1

+ Đường thẳng Δ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t)

+ đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

.

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên

⇔ 2t+ 1= 0 ⇔ t= 1/2 => H(3/2;0;1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương; chọn vecto ( 1; 0; 2)

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng ; ba điểm A(1;1;1); B( -2; 1; -1) và C( 1; 0;2). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Ta có: (AB) ⃗( -3;0;-2); (BC) ⃗(3; -1;3)

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M( 1-t; 2t; 2+ t)

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n→ .OM→=0

⇔ -2(1- t) + 3.2t + 3.( 2+ t) = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0

⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= (- 4)/11

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn (15; - 8;18)

=> Phương trình OM:

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x- 3y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 3) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: (MA→ .n→=0 ⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15

+ Đường thẳng Δ: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với . Đường thẳng d có phương trình: . Gọi đường thẳng Δ đi qua M( 0; -1; 1); cắt d và song song với (P). Tìm giao điểm của đường thẳng d và Δ?

A. ( - 4; 2; -6)

B. (1; 2; - 1)

C. ( 0; 2; - 2)

D. (6; 2; 4)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A(-1; 2; 2)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H( 3- t; 2; 1- t )

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4(3- t)+ 3. 3 – 1( -t) = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7

=> Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H( - 4; 2; - 6)

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho điểm A( -2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M( -1; -1; 0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình OA:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( -2t; t; 3t)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2( 1- 2t) +2( t+1) +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d:

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-2;2;2) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): 2x+ y + z+ 30= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B(-t; -1+ 2t; 2t)=>

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên :

=> =0 ⇔ 2( 2-t) + 1( 2t- 3) + 1( 2t- 2) = 0 ⇔ 4- 2t+ 2t – 3 + 2t – 2=0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t= 1/2

+ Đường thẳng Δ đi qua A( -2; 2; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn ( 3; - 4; -2)

nên phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 2:

Cho hai điểm A(1; -2; 1) và B(0;0;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 2; 2;1) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): -x+ y+ z +1= 0.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1;-2;1); nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H( 1- t; -2+2t; 1)

+ đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên MH→ .n→=0 ⇔ - 1( -1- t)+1(2t- 4) + 0.1 = 0 ⇔ 1+ t + 2t - 4= 0 ⇔ t= 1 => H( 0;0; 1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 2;2;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn C.

Câu 3:

Cho đường thẳng ba điểm A(0;1; 2); B( 2; 1; -1) và C(-1;-1;0). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Ta có:

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M(2t; t; - 2+t)

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: X→ .OM→=0 ⇔ -6. 2t + 7.t - 4.( -2+ t) = 0 ⇔ -12t + 7t + 8 – 4t= 0 ⇔ -9t+ 8= 0 ⇔ t= 8/9

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn ( 8;4;-5).

=> Phương trình OM:

Chọn A.

Câu 4:

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x- y+z= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 1;0;2) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( t; -t; t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: MA→.n→=0 ⇔ 1( t-1) -1(-t) + 1( t- 2) = 0 ⇔ t- 1 + t + t- 2= 0 ⇔ 3t- 3= 0 ⇔ t= 1

+ Đường thẳng Δ: đi qua M(1; 0; 2) và nhận vecto (MA) ⃗(0; -1; -1) làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Câu 5:

Cho đường thẳng ; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với . Đường thẳng Δ đi qua M(1;1;1); cắt d và song song với (P). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ?

A. (0; 1; -5)

B. ( 0; -1; - 5)

C. ( 2; 0; 7)

D.( -2; 1; -3)

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A( - 2; 0; 1)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H(-1+ t; -2+2t; -2t )

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên: n→ .MH→=0 ⇔ 5(t-2) - 5( 2t- 3) – 5( -2t- 1) = 0 ⇔ t- 2- ( 2t- 3) – ( -2t- 1)= 0 ⇔ t-2- 2t + 3 + 2t + 1= 0 ⇔ t+ 2= 0 ⇔ t= -2

=> đường thẳng Δ đi qua M( 1; 1;1) nhận vecto làm vecto chỉ phương .

Chọn A.

Câu 6:

Cho điểm A(2; 1; 4) và mặt phẳng (P): -2x+2y - z+ 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;2;0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương => Phương trình OA:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( 2t; t; 4t)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ -2(2t - 2) +2( t-2) -1.4t= 0 ⇔ -4t + 4+ 2t – 4- 4t = 0 ⇔ -6t= 0 ⇔ t= 0

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d:

Chọn C.