Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay
Với Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải
+ Tính 
, đường thẳng d nhận vecto
làm vecto chỉ phương ( có thể chọn một vecto cùng phương với
làm vecto chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto
làm vecto chỉ phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A (1; 1; 3) và B (2; 0; 5). Tìm mệnh đề sai?
A. phương trình tham số của Δ là: 
B. Phương trình chính tắc của Δ là: 
C. Đường thẳng Δ đi qua điểm H( 0; 2; 1)
D. Đường thẳng Δ đi qua điểm K( - 4; - 6; - 7)
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Δ đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của Δ là u→
=
Vậy phương trình tham số của Δ là:
Phương trình chính tắc của Δ là:
Cho t= - 1 ta được điểm H( 0;2; 1) thuộc đường thẳng Δ.
Cho t= -5 ta được điểm M( - 4; 6; - 7) thuộc đường thẳng Δ
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 5), B(3; -1; 4), C(4; 1; -3). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến AM
A. phương trình tham số của AM là: 
B. Phương trình chính tắc của AM là: 
C. Phương trình tham số của AM là:
D. Phương trình chính tắc của AM là:
Hướng dẫn giải
Trung điểm M của BC là
=>vectơ chỉ phương của AM là 
Vậy phương trình tham số của AM là:
Phương trình chính tắc của AM là:
Do vecto
là vecto chỉ phương của đường thẳng AM nên vecto 
cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng AM.
=> Đường thẳng AM cũng có phương trình chính tắc là:
Chọn C.
Ví dụ 3:Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1)?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Vì đường thẳng Δđi qua 2 điểm A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1) nên có véc tơ chỉ phương là u→=
=(1;3;2)
Đồng thời đường thẳng Δ đi qua điểm A (2; 1; 3) nên có phương trình là
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A( 3; 3; -1) và B( 6;4; 0)?
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương 
Vậy phương trình chính tắc của AB là:
Chọn D.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 1; 2; 3) ; B( 0; -2; 1) và C( 2; 0; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AG là.
A.
B.
C.
D.Không có phương trình chính tắc
Hướng dẫn giải
G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G: 
Đường thẳng AG đi qua điểm G( 1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương 
=> Đường thẳng AG không có phương trình chính tắc.
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng 
và 
. Gọi I là giao điểm của d1; d2. Phương trình đường thẳng OI là (O là góc toạ độ )
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có I∈d1⇒ 
và I∈d2⇒
Khi đó 
⇒
là vecto chỉ phương của đường thẳng OI
Suy ra phương trình OI là:
Chọn D.
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(1; 2; -1); B( 3; 2; 3) và C( -3; 0; 3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
.
+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( -1; 1; 1)
+ Đường thẳng MN đi qua M( 2; 2; 1) và có vecto chỉ phương 
làm vecto chỉ phương
=> Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?
A. Phương trình tham số của d là: 
B. Phương trình chính tắc của d là: 
C. Đường thẳng d đi qua điểm H( - 5; -1; 1)
D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)
Lời giải:
Ta có: 
Đường thẳng d đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của d là u→=
Vậy phương trình tham số của d là:
Phương trình chính tắc của d là:
Cho t= - 1 ta được điểm H( -5; -1; 1) thuộc đường thẳng d.
Cho t= -3 ta được điểm M( -11;- 3; - 3) thuộc đường thẳng d
Chọn A.
Câu 2:
Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN
A. phương trình tham số của CN là:
B. Phương trình chính tắc của CN là:
C. Phương trình tham số của CN là:
D. Phương trình chính tắc của CN là:
Lời giải:
Trung điểm A của AB là N(1;2 ;3)
=>vectơ chỉ phương của CN là u→ =(1; -1;1)
Vậy phương trình tham số của CN là:
Phương trình chính tắc của CN là:
Do vecto u→ (-1;1; -1)là vecto chỉ phương của đường thẳng CN nên vecto v→ (-1; 1; -1) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng CN.
=> Đường thẳng CN cũng có phương trình chính tắc là:
Chọn D.
Câu 3:
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 0) và B( -2;3; 4). Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d
A. ( -3; 1; - 4)
B. ( 6; -2; -8)
C.( 3; -1; -4)
D. (9; -3; -12)
Lời giải:
Ta có: 
là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
Mà vecto
cùng phương với các vecto 
; 
và 
nên ba vecto uX→; v→; t→ cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d
Chọn A.
Câu 4:
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 5) và B (4; -2; 6)?
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Vì đường thẳng Δ đi qua 2 điểm A (2; 1; 5) và B (4; - 2; 6) nên có véc tơ chỉ phương là u→=
=(2; -3 ;1)
Đồng thời đường thẳng Δ đi qua điểm A (2; 1; 5) nên có phương trình là
Chọn B.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
Đường thẳng OA đi qua hai điểm O và A nên có vectơ chỉ phương 
Vậy phương trình chính tắc của AB là:
Chọn B.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( -2; 3; 4) ; B( 2; 1; 3) và C(0;2; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AG là.
A.
B.
C.
D.Không có phương trình chính tắc
Lời giải:
G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G:
=> G( 0;2; 3)
Đường thẳng AG đi qua điểm G( 0; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
=> Đường thẳng AG có phương trình chính tắc:
Chọn C.
Câu 7:
Cho hai đường thẳng d1:
và d2:
Gọi I là giao điểm của d1; d2. Phương trình đường thẳng OI là (O là góc toạ độ )
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Ta có I∈d1⇒ 
và I∈d2 ⇒
Khi đó 
⇒
=2(1;1;1) là vecto chỉ phương của đường thẳng OI
Suy ra phương trình OI là:
Chọn B.
Câu 8:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(2; 3; 5); B( 0; -1; -3) và C( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
=> M( 1; 1; 1).
+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( 3; 1; 1)
+ Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương 
làm vecto chỉ phương
=> Phương trình tham số của đường thẳng d:
Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
Chọn A.
