Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

---

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Với Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d đi qua M_0 (x_0,y_0,z_0 ) và có vectơ chỉ phương , cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0

Gọi là vectơ pháp tuyến của (P). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có cách sau:

Cách 1:

Xét tích vô hướng n→.u→ và thay tọa độ điểm M_0 vào phương trình của (P) để kiểm tra, ta có các trường hợp sau:

- n→.u→ ≠ 0⇔d cắt (P)

-n→=ku→⇔d vuông góc với (P)

Cách 2:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d:

Thay x, y, z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 ta được:

A_(x0+ta)+B_(y0+tb)+C_(z0+tc) +D=0 hay mt+n=0 (1)

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:

- (1) vô nghiệm ⇔d song song với (P)

- (1) có một nghiệm t = t_0 ⇔d cắt (P) tại điểm M₀(x₀+t₀a;y₀+t₀b;z₀+t₀c)

- (1) có vô số nghiệm ⇔d nằm trong (P)

- (A; B; C) = k (a; b; c) ⇔d vuông góc với (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Xét vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng sau: (P): x + y + z + 2 = 0

A. Cắt nhau

B. (P) chứa d

C. Song song

D. Vuông góc

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua M_0(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:

Ta có: n→.u→=2+4+1=7 ≠ 0.

Vậy d cắt (P).

Chọn A.

Ví dụ: 2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng (P): x+ 2z – 7 = 0?

A. Cắt nhau

B. song song

C. (P) chứa d

D.Vuông góc

Hướng dẫn giải

+ đường thẳng d đíqua điểm A( 1; 0; -1) và có vecto chỉ phương

+ Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến

=> n→.u→ = 2. 1+ 0.1- 1.2= 0 và điểm A không thuộc mặt phẳng (P)

=> đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Chọn B.

Ví dụ: 3

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0. Tìm mệnh đề đúng ?

A. d cắt (P) tại điểm có hoành độ 7/3

B.d cắt (P) tại điểm có tung độ (-2)/3

C. d và (P) không có điểm chung .

D. Tất cả sai.

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của d là:

Thay x, y, z vào phương trình tổng quát của (P) ta có:

(1+ 2t) + 2 (-1+t) + (-t) – 1 = 0 (1)

⇔ 3t = 2 nên t = 2/3

Phương trình (1) có 1 nghiệm t = 2/3. Vậy d cắt (P) tại điểm:

Chọn A.

Ví dụ: 4

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (P) biết và (P): x + z + 5 = 0?

A. Cắt nhau

B. (P) chứa d

C. Vuông góc

D. Song song

Hướng dẫn giải

Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) ta được:

( 2-t) + (2+t) + 5 = 0 ⇔ 0t + 9 = 0 ⇔ 0.t= -9

=> Phương trình vô nghiệm .

Vậy d // (P).

Ví dụ: 5

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0

A. (P) chứa d

B. Cắt nhau

C. Song song

D. Vuông góc

Hướng dẫn giải

Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) ta được:

(3-t) + (2-t) + (1+2t) – 6 = 0 hay 0t = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t.

Vậy (P) chứa d.

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z – 4= 0 và đường thẳng . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thuộc mặt phẳng (Oyz) .

A. m= 2

B. m= -1

C.m= 1

D.m= 3

Hướng dẫn giải

Ta có: d∩(P)=A( x; y; z) .

A thuộc mặt phẳng (Oyz) nên x= 0 => A( 0; y;z)

Lại có; A thuộc ( P) nên: 0- 2y+ 3z- 4= 0 ⇔

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ my – 3z + m- 2= 0 và đường thẳng . Với giá trị nào của m thì d cắt (P)

A.

B. m= 1

C.

D.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Đường thẳng d cắt (P) ⇔ n→.u→ ≠ 0 ⇔ 2.4+ m.(-1)– 3.3 ≠ 0 hay -m-1 ≠ 0 nên m ≠ -1

Chọn D

Ví dụ: 8

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): m²x- 2my + (6-3m)z- 5= 0. Tìm m để d// (P)

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có đường thẳng d đi qua M( 2; -3; 1) và có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Để d song song với (P) thì m₂x- 2my + (6-3m)z- 5= 0.

Chọn A.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x+ y- z+ 3= 0. Xác định giá trị của m;n sao cho (P) chứa d?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 2; n; 1) và có vecto chỉ phương

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Để mặt phẳng (P) chứa d khi và chỉ khi:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x- 3y + 2z- 5= 0 và đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. d //(P)

B. d ⊂ (P)

C. d cắt (P).

D. d ⊥ (P) .

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Ta có

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+ z- 4= 0 và đường thẳng . Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A. Vô số.

B.1.

C. Không có.

D. 2.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

đi qua A( 1; 1; 2) có vecto chỉ phương

=> n→.u→ = 1.1 + 1.2+ 1.(-3) = 0 và điểm A thuộc (P) ( vì 1+ 1+ 2- 4= 0)

=> Mặt phẳng (P) chứa d nên chúng có vô số điểm chung.

Chọn A.

Câu 3:

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): mx- 4y+ 2z – 2= 0. Tìm giá trị của m để đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P)

A.m= 10

B. m= 9

C. m= -8

D. m= 8

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A(0; -1; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Để đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) khi và chỉ khi:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x+ 2y – z- 5= 0. Khi đó d cắt (P) tại điểm I(a; b;c). Tìm giá trị M= a+ b+ c?

A.M= 2

B. M= -2

C. M= -4

D. M=4

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d dạng tham số:

Tọa độ giao điểm I của d và mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:

Thay ( 1); (2); (3) vào (4) ta được:

2( 1+ t) + 2t – ( -1+ 2t) – 5= 0

⇔ 2+ 2t+ 2t + 1- 2t – 5= 0

⇔ 2t – 2= 0 nên t= 1

=> Tọa độ I( 2; 1; 1)

Suy ra M= a+ b+ c= 2+ 1+ 1= 4.

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y- z+ 1= 0. Xác định giá trị của m;n sao cho (P) song song d?

A.m= - 4;n= -6.

B. m= 4;n ≠ 2.

C.m= 2;n∈R

D.m∈R;n= -3.

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 0; 1; n) và có vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Để mặt phẳng (P) song song d khi và chỉ khi:

Chọn B.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x- 2y- mz = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt phẳng (P)?

A. m= - 2

B. m ≠ -2

C. m ≠ 1

D. m= 1

Lời giải:

+ Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là nghiệm hệ phương trình

Thay(1) ; ( 2) ; (3) vào (4) ta được:

- 1+ 2t- 2.2- m.2t= 0 ⇔ - 5+ 2t- 2mt= 0

⇔ 2t – 2mt= 5 ⇔ ( 2- 2m) t= 5 ( *)

+Nếu m= 1 thì (*) trở thành: 0t= 5 vô lí

=> Khi đó đường thẳng d song song mp (P). ( loại)

+ Nếu m ≠ 1 từ (*)=>

=> Đường thẳng cắt mặt phẳng.

Vậy để đường thẳng cắt mặt phẳng (P) thì m ≠ 1

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho ba điểm A( 1; 0;0); B( 0; 2; 0) và C(0; 0; 1). Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (ABC)?

A.(1; 2;1)

B. ( -1; 0;2)

C. ( 0; 0; 1)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình mặt phẳng (ABC):

Phương trình tham số của đường thẳng d:

Thay ( 1) vào (*) ta được:

2.(-t) + ( - 2+ 2t) + 2( 1+ t)- 2= 0

⇔ - 2t – 2+ 2t+ 2+ 2t- 2= 0

⇔ 2t – 2= 0 ⇔ t= 1

=> x= - 1; y= 0; z= 2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm M(-1; 0; 2)

Chọn B.

Câu 8:

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ 2y- 3z+ 6= 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)?

A. Cắt nhau

B. Song song

C. Vuông góc

D. Chưa kết luận được

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A(m;0; n) và có vecto chỉ phương

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Ta có: u→.n→= - 1.1+ 2.2+ 2.(-3) = -3 ≠ 0 với mọi m và n

=> Đường thẳng d luôn cắt mặt phẳng (P) với mọi giá trị của m và n.

Chọn A.