100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản) - Toán lớp 12

---

100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản)

Với 100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản) Toán lớp 12 tổng hợp 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Câu 1: Cho hàm số . Tìm mệnh đề đúng?

A. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là x = 2.

B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2.

C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (2; 2/3).

D. Điểm cực tiều của hàm số là (3; 1/2).

Lời giải:

- Tập xác định: D = R.

y' = x² - 5x + 6; y' = 0

y'' = 2x - 5 và y''= 2x - 5

Do y''(2) = - 1 < 0 nên x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Vì y''(3) = 1 > 0 nên x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số.

- Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại (2; 2/3), một điểm cực tiểu (3; 1/2)

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 2: Tìm cực trị của hàm số .

A. x = 5      B. x = 4

C. (4;0)      D. Không có điểm cực trị

Lời giải:

- Tập xác định: D = R\{5}.

Suy ra hàm số không có cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 3: Hàm số y= -x³ + 3x² + 1 đạt cực tiểu tại:

A. x = 0      B. x = 2

C. Không có cực tiểu     D. Đáp án khác

Lời giải:

- TXĐ: D = R.

Ta có: y' = (-x³ + 3x² + 1)' = -3x² + 6x, y' = 0 ⇔ -3x(x - 2) = 0

Do y'' = -6x + 6 và y''(0) = 6 > 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vì y''(2) = -6 < 0 nên x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Nhận xét: Chúng ta cũng có thể dùng bảng biến thiên để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.

- Bảng biến thiên hàm số: y = -x³ + 3x² + 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 4: Khẳng định nào sau đây là sai:

A. có đạt cực tiểu tại – 1.

B. không có cực trị.

C. y = x⁴ + 6x² + 2 đạt cực tiểu là 0.

D. Nếu đạo hàm không đổi dấu trên TXĐ thì hàm không có cực trị.

Lời giải:

Xét phương án

A. nên hàm số không có cực trị

Suy ra câu A sai.

B. có đạo hàm: y'= x² + 2x + 4 = (x + 1)² + 3 > 0 mọi x nên y là không có cực trị là câu chính xác.

C. y' = 4x³ + 12x = 4x(x² + 3); y' = 0 ⇔ x = 0

y'' = 12x² + 12; y''(0) = 12 > 0

⇒ x = 0 là điểm cực tiểu

D. Đây là câu lí thuyết.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 5: Cực trị của hàm số là:

A. x_CD = 0, x_CT = 1/3      B. x_CD = 3, x_CT = -3

C. x_CD = 1/3, x_CT = 0      D. Không có cực trị.

Lời giải:

- TXĐP: D = R. Ta có:

y' = 3x - 9x² = 3x(1 - 3x); y' = 0

y'' = 3 - 18x; y''(0) = 3 > 0; y'(1/3) = -3 < 0

⇒ x_CD = 1/3, x_CT = 0

Kết luận: hàm số đạt cực trị với x_CD = 1/3, x_CT = 0

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 6: Hàm số y = ax⁴ + bx² + c với a ≠ 0 có tối đa bao nhiêu cực trị?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 4ax³ + 2bx là hàm bậc ba.

Phương trình bậc 3: y' = 0 có tối đa 3 nghiệm. Vậy số điểm cực trị tối đa là 3.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Lời giải:

  + Do hàm số xác định tại x = 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x = 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

  + Do hàm số xác định tại x = 1; y'(1) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x = 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Lời giải:

+ Do hàm số xác định tại x = 1, y'(1) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x = 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; giá trị cực tiểu là y(1) = -1.

  + Tại x = 0 hàm số không xác định nên x= 0 không là điểm cực trị củ hàm số.

  + Hàm số không có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 9: Cho hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ và có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đã cho có:

A. Hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C. Một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Lời giải:

  + Hàm số không có đạo hàm tại x₀ nhưng hàm số vẫn liên tục tại x₀ thì hàm số vẫn đạt cực trị tại x0.

  + Trong trường hợp này; hàm số đạt cực đại tại điểm x₁ và đạt cực tiểu tại x₀.

Do đó đáp án D đúng.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 10: Cho hàm số với m là tham số thực. Hàm số có đồ thị (C) và bảng biến thiên sau:

Tìm m sao cho hàm số f(x) đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn hơn -1?

A. m > 2      B.

C. m < -5/2      D. m > 5/2

Lời giải:

Ta có: f'(x)= x² + (4 - m)x + 5 - 2m

Xét phương trình: f'(x) = x² + (4 - m)x + 5 – 2m = 0

⇒ x² + 4x + 5 = m(x + 2)

Ta có nghiệm của f'(x) = 0 cũng là hoành độ giao điểm của phương trình g(x) = m

Khi đó từ bảng biến thiên, để hàm số đạt cực trị tại ít nhất tại 1 điểm mà điểm đó lớn hơn – 1 khi và chỉ khi m > 2.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = x(x-1)².(x + 1)³, hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

f'(x) = 0 ⇔ x(x-1)².(x + 1)³ = 0

Do x = 1 là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số.

Do x = 0 là nghiệm đơn nên là điểm cực trị của hàm số.

Do x = -1 là nghiệm bội lẻ nên là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 12: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thị của hàm số f'(x) trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(x) trên K là:

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f'(x) = 0 chỉ có một nghiệm đơn (tại x = -1) và hai nghiệm kép (tại x = 0 và x = 2).

Suy ra f'(x) chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này. Do đó, hàm số f(x) có đúng một cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 13: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thị của hàm số f'(x) trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) + 2018 trên K là:

A. 1      B. 2

C. 3      D.4

Lời giải:

  + Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm đơn (đồ thị hàm số y = f'(x) = 0 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt) nên y' đổi dấu khi qua nghiệm đơn này.

  + Lại có: y = f(x) + 2018 có y'= f'(x). Do đó suy ra hàm số y= f(x) + 2018 có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 14: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thị của hàm số f'(x) trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) + 2x trên K là:

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Lời giải:

Hàm số y= f(x) + 2x có đạo hàm y'= f'(x) + 2

Phương trình y’= 0 ⇔ f'(x) = -2

Số nghiệm của phương trình y' = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = - 2

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y'= 0 có hai nghiệm và y' không đổi dấu khi qua các nghiệm này. Do đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x không có cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 15: Hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) trên R. Cho đồ thị của hàm số f’(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x²) là:

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

Ta có: y = f(x²) nên y'= 2x. f'(x²)

Dấu y':

Do đó suy ra hàm số y= f(x²) có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 16: Hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số có mấy điểm cực trị:

A. 3.      B. 2.

C. 1.      D. 0.

Lời giải:

Căn cứ vào sự đi lên đi xuống của đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 17: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số y = |f(x)| là:

A. 3      B. 4

C. 7      D. 0

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta suy ra đồ thị hàm số y = |f(x) |.

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số y = |f(x)| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 18: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f(|x|) là:

A. 0      B. 2

C. 4      D. 5

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta suy ra đồ thị hàm số y = f(|x|).

Từ đồ thị hàm số y= f(|x|); suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 19: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = |2f(x) – 3| là:

A. 3      B. 5

C. 7      D. 9

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số y= f(x) ta suy ra đồ thị hàm số y = |2f(x) - 3|

Suy ra đồ thị hàm số y = |2f(x) - 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 20: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số y = |[f(x)]² - 1| là:

A. 7      B. 9

C. 11      D. 13

Lời giải:

Đặt u(x) = f²(x) – 1

Đạo hàm: u'(x) = 2f(x).f'(x)

Phương trình u'(x) = 0 có các nghiệm đơn.

Suy ra đồ thị hàm số y = |[f(x)]² - 1|

Đồ thị hàm số y = |[f(x)]² - 1| có 13 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 21: Hàm số với m ≠ 0 đạt cực đại tại x = -4/5 với giá trị của m nào dưới đây ?

A. m = 0      B. m = -13/5

C. m = -5/4      D. m = 2/3

Lời giải:

Hàm số đạt giá trị cực đại tại x khi y'(x) = 0 và y''(x) < 0

Ta có: y'(x) = m².x² – 2mx và y'' = 2m²x – 2m

- Hàm số đạt cực đại tại x = -4/5 khi

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 22: Tìm giá trị cực đại y_CĐ của hàm số y = x³ – 3x + 2

A. y_CĐ = 4      B. y_CĐ = 1

C. y_CĐ = 0      D. y_CĐ = -1

Lời giải:

Đạo hàm: y'= 3x² – 3

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 3x² – 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

Ta có y'' = 6x.

Do y''(1)= 6 > 0 nên điểm x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Do y''(-1)= -6 < 0 nên điểm x = -1 là điểm cực đại của hàm số

⇒ Giá trị cực đại là: y_CĐ = y(-1) = 4.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 23: Cho hàm số có 2 cực trị x₁, x₂. Tính S = x₁ + x₂.

A. S = 2      B. S = -2

C. S = 2√3      D. S = -2√3

Lời giải:

TXĐ: D = R\{1}

Vậy S = x₁ + x₂ = 2.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 24: Tìm m để hàm số có 2 cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁.x₂ + 2.(x₁ + x₂) = 1

A. m = 2/√3 B. m = 3/√2

C. m = 2/3 D. Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 2x² – 2mx – 2(3m² - 1)

Xét phương trình y' = 0 ⇔ x² – mx – 3m² + 1 = 0

Để hàm số có 2 điểm cực trị

⇔ Δ = b² - 4ac = 13m² - 4 > 0

Khi đó: x₁.x₂ + 2(x₁ + x₂) = 1 ⇔ -3m² + 1 + 2m = 1

Vậy m = 2/3 thỏa điều kiện đặt ra.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 25: Cho hàm số y= -x⁴ + (5m - 1)x² + 2. Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị với giá trị nào của m sau đây ?

A. m ≥ 1/5      B. m > 1/5

C. m < 1/5      D. m ≤ 1/5

Lời giải:

y' = -4x³ + 2(5m - 1)x; y' = 0

Để hàm số có đúng 1 cực trị

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 26: , với giá trị nào của m thì hàm số có cực tiểu, cực đại

A. 4 ≤ m ≤ 1      B. -4 ≤ m ≤ 1

C. m < -4 hoặc m > 1      D. m ≤ -4 hoặc m ≥ 1

Lời giải:

Đạo hàm: f'(x) = x² + 2mx – 3m + 4

Xét phương trình: f'(x) = 0 hay x² + 2mx – 3m + 4 =0

Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Δ' = m² + 3m - 4 > 0

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 27: Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d với a ≠ 0 có 2 cực trị khi nào ?

A. y' = 0 có nghiệm.

B. y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

C. y' = 0 có 2 nghiệm trái dấu.

D. Hàm số luôn có 2 cực trị.

Lời giải:

Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d với a ≠ 0 có đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c (*)

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 28: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0.

B. Hàm số có hai giá trị cực tiểu là -2/3 và -5/48.

C. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu là -2/3 và giá trị cực đại là -5/48.

Lời giải:

TXĐ: D = R và có đạo hàm y' = 4x³ – 2x² – 2x = 2x(2x² – x – 1)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp án B.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 29: Tọa độ điểm cực đại của hàm số y = x³ – 3x² + 4 là:

A. (2;4)      B. (2; 0)

C. (0;- 4)      D. (0 ; 4)

Lời giải:

Tập xác định: D= R.

Đạo hàm y’= 3x2 – 6x

Xét phương trình: y' = 0 ; y'' = 6x - 6

Ta có: y''(0) = - 6 < 0 nên điểm cực đại của hàm số là x = 0 và y_CĐ = 4.

Do y''( 2) = 6 > 0 nên điểm x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số và y_CT = 0 .

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 4)

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 30: Cho hàm số y = x³ – 3x² +1 (C). Đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) có phương trình là

A. y = - x      B. x - 4y + 5 = 0

C. y = 2x + 3      D. x - 2y + 3 = 0

Lời giải:

Cách 1: TXĐ: D = R.

Đạo hàm y'= 3x² – 6x

Ta có: y = 1/3. (x + 1).y' + (-2x + 1).

Suy ra; đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là Δ: y = -2x + 1

Đường thẳng d vuông góc Δ có dạng d: y = 1/2.x + b

Do A(-1;1) ∈ d ⇒ 1 = -1/2 + b ⇒ b = 3/2.

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 1/2.x + 3/2 hay d: x – 2y + 3 = 0

Cách 2: Ta có: y'= 3x² - 6x

Tọa độ hai điểm cực trị: B(0; 1) và C(2; -3)

Hệ số góc của đường thẳng BC là:

⇒ Hệ số góc của đường thẳng cần tìm k_d = 1/2

(Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng tạo bởi hai điểm cực trị nên k_BC. k_d = -1)

Phương trình đường thẳng d: y = 1/2.(x + 1) + 1 ⇔ x – 2y + 3 = 0.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 31: Cho hàm số y = x³ – 3x có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là y₁; y₂. Khi đó:

A. y₁ + y₂ = 1      B. 2y₁ – y₂ = 4

C. 2y₂ + y₁ = 2      D. y₁ - y₂ = 4

Lời giải:

Ta có: y' = 3x² - 3 = 0

Do y'' = 6x; y''(1) = 6 > 0 nên điểm x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

Vì y''(-1)= -6 < 0 nên điểm x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

Suy ra y₁ = y(-1) = 2; y₂ = y(1) = -2

Vậy y₁ – y₂ = 4.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 32: Đồ thị của hàm số y = 3x⁴ – 4x³ – 6x² + 12x + 1 đạt cực tiểu tại M(x₁; y₁). Tính tổng S = x₁ + y₁

A. 5      B. - 11

C. 7      D. 6

Lời giải:

Đạo hàm y' = 12x³ – 12x² – 12x + 12

y' = 0 ⇔ x³ - x² - x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x - 1)² = 0

Lập bảng biến thiên, ta thu được điểm cực tiểu là M(-1; -10)

Do đó tổng S = x₁ + y₁ = -11

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 33: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số như hình vẽ thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và đạt cực đại tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 34: Cho hàm số Tính tổng giá trị cực đại y_CĐ và giá trị cực tiểu y_CT của hàm số trên.

A. –5      B. 2

C. –4      D. -6

Lời giải:

Tập xác định: D = R\{0}.

Có

Suy ra: y_CĐ + y_CT = -1 + (-5) = -6 .

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 35: Cho hàm số y = (x - 1).(x + 2)². Trung điểm I của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A. 2x + y + 4 = 0      B. 2x + y - 2 = 0

C. x + 2y + 1 = 0      D. x + y + 1 = 0

Lời giải:

Ta có: y = (x - 1).(x + 2)² = x³ + 3x² - 4

Đạo hàm: y' = 3x² + 6x và y'' = 6x + 6.

Đối với hàm bậc ba, trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số chính là điểm uốn của đồ thị. Do đó, trung điểm I cần tìm có hoành độ x_I thỏa mãn: 6x_I + 6 = 0 ⇔ x_I = - 1.

⇒ y_I = -2

Vậy điểm I cần tìm là (-1; -2). Dễ thấy điểm I thuộc đường thẳng 2x + y + 4 = 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 36: Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = -3; đạt cực tiểu tại x = 1.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3; đạt cực đại tại x = 1.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3 và x = 1; đạt cực đại tại x = 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và x = 1; đạt cực tiểu tại x = 0.

Lời giải:

Đạo hàm: y' = x⁴ + 2x³ – 3x² = x²(x² + 2x – 3)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và đạt cực đại tại x = -3.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 37: Giá trị cực đại của hàm số y = x + sin2x trên (0; π) là:

Lời giải:

Ta có đạo hàm y' = 1 + 2cos2x.

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 1 + 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = -1/2

Do x ∈ (0; π) ⇒ x = π/3.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = π/3 và giá trị cực đại của hàm số là

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 38: Biết đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị là (-1; 18) và (3; -16). Tính a + b + c + d ?

A. – 2      B. -1

C. 1      D. 2

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx + c

Xét phương trình: y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (*)

Do đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi- et ta có:

Mà 2 điểm cực trị là (-1; 18) và (3; -16) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

-a + b – c + d = 18 (3) và 27a + 9b + 3c + d = -16 ( 4).

Giải hệ 4 phương trình (1); (2); (3); (4) ta có:

Suy ra a + b + c + d = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 39: Cho hàm số y= -x³ + (m + 1)x² – (m² + 2m - 3)x – 4, xác định tham số m để đồ thị hàm số y có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục trung:

A. m > 3      B. -3 < m < 1

C. -3 ≤ m ≤ 1      D. Với mọi giá trị m.

Lời giải:

Đạo hàm: y' = -3x² + 2(m + 1)x – (m² + 2m - 3) (*)

Để đồ thị hàm có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm trái dấu:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 40: Giá trị cực tiểu của y = x + 1/x là giá trị nào sau đây ?

A. - 1      B. 1

C. -2      D. 2

Lời giải:

Cách 1: Dùng bảng biến thiên.

Cách 2: Dùng y''

suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy giá trị cực tiểu là y(1) = 2.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 41: Tìm điều kiện của m để hàm số y = 2x⁴ – 4(m + 5)x² + m² – 4 có 3 cực trị:

A. m ∈ (-∞; -5)      B. m ∈ (-∞; -5]

C. m ∈ [5; +∞)      D. m ∈ (5; +∞)

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 8x³ – 8(m + 5)x

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 8x[x² – (m + 5)] = 0

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m + 5 > 0 hay m > -5.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 42: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (nếu có) của hàm số y = -x³ + 2x² là đường thẳng nào dưới đây:

Lời giải:

Đạo hàm: y' = -3x² + 4x.

Ta có:

Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị x₁; x₂ khi đó đạo hàm tại hai điểm đó bằng 0: y'(x₁) = y'(x₂) = 0.

Từ đó, suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là y = 8x/9

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 43: Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Hàm số có cực trị là (0; 1); (1; -1). Khi đó xác định hàm số f(x)?

A. f(x) = x³ + 3x + 1      B. f(x) = x³ - 3x + 1

C. f(x) = -x³ + 3x      D. f(x) = 2x³ + 6x + 1

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx + c

Hàm số có 2 cực trị là (0; 1) và (1; -1) nên ta có hệ phương trình:

Vậy hàm số cần tìm là: y = x³ – 3x² + 1

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 44: Cho y = x.√(9 - x²). Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số?

Lời giải:

Đạo hàm

Dựa vào bảng biến thiên; đồ thị hàm số đạt cực đại tại

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 45: Giả sử m là số cực trị của hàm y = ax³ + bx² + 1 (a ≠ 0). Xét trên khoảng (1; +∞), m có thể bằng bao nhiêu ?

A. m = 1      B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = 0 hoặc m = 2      D. m = 1 hoặc m = 0

Lời giải:

Ta sẽ tính đạo hàm và tìm cực trị của hàm số sau đó xét các cực trị thuộc khoảng (1; +∞)

Đạo hàm: y'= 3ax² + 2bx = x.(3ax + 2b)

Rõ ràng điểm 0 ∉ (1; +∞) còn -2a/3a có thể ∈ (1; +∞).

Vậy hàm số đã cho có thể có 0 hoặc 1 cực trị trên khoảng (1; +∞).

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 46: Cho hàm số

Tìm mệnh đề đúng?

Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đạt cực tiểu tai x = 0 và x = 3

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 47: Hàm số y = ax³ + ax² - 4 đạt cực tiểu tại x = -2/3 thì a thỏa mãn điều kiện gì ?

A. a > 0      B. a < 0

C. a = 0      D. a ≠ 0

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3ax² + 2ax (*)

- Để hàm số có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt:

⇔ Δ' > 0 ⇔ a ≠ 0 (1)

- Hàm số có cực trị tại x = -2/3 nên:

- Kết hợp (1), (2) suy ra a ≠ 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 48: Cho hàm trùng phương y = -2x⁴ + 4(2m² + 1)x² + 1, giá trị nhỏ nhất của y_CĐ là bao nhiêu

A. min = 1      B. min = 3

C. min = 0      D. min = 2

Lời giải:

Đạo hàm: y' = -8x³ + 8(2m² + 1)x = -8x.[x² – (2m² + 1)].

Nhận xét: Hàm trùng phương có 3 cực trị với hệ số a < 0 sẽ có 2 cực đại và 1 cực tiểu. Từ đó ta xác định được giá trị cực đại:

y_CD = -2(2m² + 1)² + 4(2m² + 1)² = 2(2m² + 1)² + 1

Vì 2m² + 1 ≥ 1 nên 2(2m² + 1)² + 1 ≥ 2 + 1 = 3

Do đó min y_CĐ = 3. Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 49: Định m để đạt cực tiểu tại x = -1

A. m = 1/4      B. m = 1/2

C. m = 1      D. Không có giá trị nào thỏa mãn

Lời giải:

Đạo hàm: y'= x² + 4mx và y'' = 2x + 4m

Để hàm đạt cực tiểu tại x = -1

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 50: Cho hàm số:

Xác định giá trị m để cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng (-3;4)

A. m ∈ (-2; 5)      B. m ∈ (-2; 5)\{3}

C. m ∈ (-∞; 2)      D. m ∈ (3; 5)

Lời giải:

Ta cần tìm cực đại và cực tiểu; sau đó cho thuộc vào khoảng đề bài yêu cầu.

Đạo hàm: y’ = x2 + (m- 1)x + m - 2

Để hàm có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi:

Δ = (m - 1)² - 4.1.(m - 2) > 0 ⇔ (m - 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3 (1)

Với điều kiện trên phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm là:

Vì x₁ đã thuộc (-3; 4) nên ta chỉ cần định điều kiện để x₂ thuộc (-3; 4).

Để x₂ thuộc (-3;4) ⇔ -3 < 2 - m < 4 kết hợp (1) ta được m ∈ (-2; 5)\{3}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 51: Đồ thị hàm số có mấy điểm cực tiểu ?

A. 0     B. 1

C. 2     D. 3

Lời giải:

TXĐ: D = [-3; 3]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra hàm số không có cực tiểu

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 52: Đường thẳng y = x³ + 3x² – 3x + 1 có 2 điểm cực trị A và B. Đường thẳng song song với AB có thể là đường nào trong các đường thẳng dưới đây

A. 4x + y – 2 = 0      B. y = -4x + 3

C. 4x + 2y + 3 = 0      D. y = 1/4.x - 2

Lời giải:

Tính đạo hàm, thực hiện phép chia y/y' ta được:

Vậy đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: y = -4x + 2

Ta thấy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 3.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 53:Hàm số tìm mệnh đề đúng?

A. Giá trị cực tiểu là 2√3

B. Giá trị cực đại là 2√3

C. Điểm cực tiểu có hoành độ là –2

D. Điểm cực đại có hoành độ là 2

Lời giải:

- TXĐ: D= [-5; 1]

Xét phương trình y’= 0

- Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = -2 và giá trị cực đại là 2√3

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 54: Hàm số y = x³ + mx + 201 có cả cực đại và cực tiểu khi.

A. m < 0     B. m > 0

C. m ≥ 0      D. m ≤ 0

Lời giải:

Đạo hàm y = 3x² + m

Hàm số y = x³ + mx + 201 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 55: Cho hàm số y = (m - 2)x³ – mx + 10. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

A. 0 < m < 2      B. m < 1

C. m > 2 hoặc m < 0.      D. m > 1

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y'= 3(m – 2).x² – m.

Xét phương trình: y' = 0 hay 3(m - 2)x² – m = 0 (1) .

+ TH1: Xét m = 2 khi đó y’= -2 < 0 mọi x nên hàm số đã cho không có cực trị.

+ TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ' > 0 ⇔ m(m - 2) > 0

Vậy để hàm số đã cho có cực trị thì m > 2 hoặc m < 0.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 56: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx⁴ – m²x² + 1995 có 3 điểm cực trị?

A. m < 0

B. m > 0

C. ∀m ∈ R\{0}

D. Không tồn tại giá trị của m.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y' = 4mx³ – 2xm²

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 57: Cho hàm số (m là tham số).

Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

A. m = 1      B. m = 0

C. m = 2      D. m = 3

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm: y' = x² – 2(m + 1)x + m² + 2m và y'' = 2x – 2m - 2

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Suy ra chọn đáp án B.

Lời giải:

Câu 58: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = 2(m² – 3). sinx – 2msin2x + 3m – 1 đạt cực đại tại x = π/3.

A. Không tồn tại giá trị m.      B. m = 1

C. m = - 3      D. m = - 3; m = 1.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y' = 2(m² - 3).cosx – 4m.cos2x và y'' = 2(3 - m²).sinx + 8m.sin2x

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = π/3 ta có

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 59: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m - 1)x⁴ – (m² – 2)x² + 201 đạt cực tiểu tại x = -1?

A. m = - 2      B. m = 1

C. m = 2      D. m = 0

Lời giải:

Tập xác định D= R.

Đạo hàm: y' = 4(m - 1)x³ – 2(m² – 2).x và y'' = 12(m - 1).x² – 2m² + 4.

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = - 1 khi và chỉ khi:

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 60: Cho hàm số chọn phát biểu đúng:

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, x = 5.

C. Hàm số đạt cực trị tại x = 1, x = 3, x = 5

D. Hàm số không có cực trị.

Lời giải:

- TXĐ: D = (-∞; 1] ∪ [5; +∞)

Vậy hàm số không có cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 61: Cho hàm số y = (x + 2)².(x - 2)², phát biểu nào sau đây là đúng ?

A. Đồ thị có 1 cực đại và 2 cực tiểu

B. Đồ thị có 1 cực tiểu và 2 cực đại

C. Đồ thị có 1 cực đại

D. Đồ thị có 1 cực tiểu

Lời giải:

Ta có: y = (x + 2)².(x - 2)² = (x² – 4)²

Hay y = x⁴ – 8x² + 16

Đạo hàm: y'= 4x³ – 16x

Do phương trình y' = 0 có 3 nghiệm đơn và hệ số a > 0 nên hàm số đã cho có 1 cực đại và 2 cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 62: Cho hàm số y = 1/3.x³ + (m - 2)x² - (2m + 3)x + 100, phát biểu nào sau đây là sai khi nói về đồ thị hàm số y ?

A. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu ∀m.

B. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu ∀m \ {1} .

C. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu m ∈ (1; +∞).

D. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu m ∈ (-∞; 1).

Lời giải:

Đạo hàm: y'= x² + 2(m - 2)x – (2m + 3)

- Hàm số có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt:

⇔ Δ' = (m - 2)² + (2m + 3) = m² – 2m + 7 = (m + 1)² + 6 > 0 ∀m.

Suy ra phương trình y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 63: Biết rằng hàm số đạt cực trị bằng 11/4 tại x = 1, khi đó n + m bằng bao nhiêu ?

A. 3     B. 4

C. 1     D. Đáp án khác

Lời giải:

- Đạo hàm: y' = x³ - mx

- Để hàm số đạt cực tiểu bằng 11/4 tại x = 1 thì:

Vậy n + m = 4.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 64: Cho hàm số y = 4sin2x + 102, hàm số đạt cực tiểu tại tập những điểm nào sau đây ?

Lời giải:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 65: Cho hàm số có đạo hàm f'(x) = x².(x - 1)².(2x – 7). Số cực trị của hàm số y = f(x) là giá trị nào dưới đây?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

- Hàm số đạt cực trị tại x = x₀ nếu đạo hàm tại điểm đó bằng 0 và y' của hàm số đổi dấu khi qua x₀.

- Xét phương trình

Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm nhưng chỉ có x = 3/2 làm y’ đổi dấu.

Vậy hàm số đã cho chỉ có 1 cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 66: Xác định điểm m để y = sin4x - 2m.cosx đạt cực tiểu tại x = π/3 ?

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 4cos4x + 2m.sinx và y'' = -16sin4x + 2m.cosx

- Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có x = π/3

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 67: Đường thẳng nào sau đây là đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số:

A. y = 2x - 5      B. y = 5 - 2x

C. y = x + 8      D. y = 3 - x

Lời giải:

Tính nhanh được

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 68: Cho hàm số y = x³ – 3x + 1995, khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng bao nhiêu?

A. 2      B. √10

C. 2√2      D. 2√5

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² - 3

- Gọi A, B lần lượt là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số ta được A(1; -1) và B(-1; 3)

- Khoảng cách 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 69: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x³ + 2x² + mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn x_CĐ < x_CT.

A. m < 2.      B. – 2 < m < 0.

C. -2 < m < 2.     D. 0 < m < 2.

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx² + 4x + m

Xét phương trình y’= mx² + 4x + m = 0. Để hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt và hệ số a = m > 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 70: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4m + 3).x² + m + 10 có ba điểm cực trị.

A. m > 0      B. m > 3

C. m < 0 hoặc 1 < m < 3.      D. 1 < m < 3.

Lời giải:

Đạo hàm: y’ = 4mx³ + 2(m² – 4m + 3)x

Nhận xét: hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi ab < 0.

Do đó để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và khi:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 71: Hàm số nào sau đây có đúng hai điểm cực trị?

Lời giải:

Xét hàm số

Có TXĐ là D = R\ {-1}.

Đạo hàm:

Xét phương trình y'= 0

Do y' đổi dấu khi x chạy qua -2 và 0 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 72: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – mx² + (2m - 3)x - 89 đạt cực đại tại x = 1

A. m < 3      B. m > 3

C. m ≤ 3      D. m ≥ 3

Lời giải:

+ Đạo hàm: y' = 3x² – 2mx + 2m – 3 và y'' = 6x – 2m

+ Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 73: Hàm số y = x⁴ + 2(m - 2)x² + m² – 8x + 10 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là:

A. m ≥ 2      B. m < 2

C. m > 2      D. m ≤ 2

Lời giải:

+ Hàm trùng phương có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi:

ab > 0 ⇔ 1.2(m - 2) ≥ 0 ⇔ m ≥ 2

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 74: Cho hàm số y = x⁴ + mx³ – 2x² – 3mx + 1. Xác định m để hàm số có hai cực tiểu:

Lời giải:

- Đạo hàm: y' = 4x³ + 3mx² – 4x – 3m = (x - 1).[4x² + (4 + 3m)x + 3m]

Xét phương trình:

Để hàm số có hai cực tiểu thì phương trình (1) có 2 nghiệm khác 1.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 75: Cho hàm số y = (m - 2)x³ – mx – 2. Tìm m để đồ thị hàm số không có cực đại và cực tiểu.

A. 0 < m < 2      B. 0 ≤ m ≤ 2

C. -2 ≤ m ≤ 0      D. Không có giá trị m thỏa yêu cầu

Lời giải:

- Đạo hàm y' = 3(m - 2)x² - m

- Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

⇒ Δ' = 3m(m - 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 76: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng 1 cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất là –1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = –1

Lời giải:

A. sai vì hàm số có 2 cực trị (x = 0 cũng là 1 cực trị do hàm số liên tục tại x = 0 và y' đổi dấu qua nó).

B. sai vì giá trị cực tiểu của hàm số là –1 .

C. sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R, 0 và – 1 chỉ là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm.

D. đúng

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 77: Hàm số nào sau đây có cực trị?

A. y = x³ + 19      B. y = x⁴ + 3x² + 10

C. y = 5x + 10      D.

Lời giải:

A. Hàm số y = x³ + 19 có đạo hàm y' = 3x²

Suy ra hàm số này đồng biến trên R nên hàm số này không có cực trị.

B. Hàm số y = x⁴ + 3x² + 10 là hàm trùng phương nên luôn có cực trị .

Đối với phương án C và D, đây là hàm số bậc nhất và phân thức hữu tỉ bậc nhất/bậc nhất. Đây là 2 hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng, do đó 2 hàm số này không có cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 78: Hàm số y = a.sin2x + b.cos3x – 2x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = π/2; x = π. Khi đó giá trị của biểu thức P = a + 3b - 3ab là:

A. 3      B. -1

C. 1      D. -3

Lời giải:

TXĐ: D = R

Ta có đạo hàm y' = 2a.cos2x - 3b.sin3x - 2.

Hàm số đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta có hệ phương trình:

Do đó, giá trị của biểu thức P = a + 3b – 3ab = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 79: Hàm số y = x³ – 3x² + mx - 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi?

A. m > 0      B. m ≠ 0

C. m = 0      D. m < 0

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² – 6x + m và y'' = 6x - 6

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 80: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d. Nếu đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm số có phương trình là:

A. y = 2x³ – 3x².      B. y = -2x³ – 3x².

C. y = x³ + 3x² + 3x.      D. y = x³ – 3x - 1.

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx + c

+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị là gốc tọa độ O(0; 0), ta có:

+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(-1; -1), ta có:

Vậy hàm số cần tìm là: y = -2x³ - 3x².

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 81: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đúng 2 cực trị?

A. y = x³ - 5x² + 7      B. y = x⁴ + 3x² + 7

C.      D. y = 17x⁶ + 16x⁴

Lời giải:

+ A. Đây là hàm số bậc 3 có y' = 3x² – 10x. Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 10/3. Do đó, hàm số có 2 cực trị.

+ B. Hàm số y = x⁴ + 3x² + 2 có 1 cực trị.

+ C.

Do đó, hàm số này đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số này không có cực trị.

+ D. Có y' = 102x⁵ + 64x³. Xét y' = 0 ⇔ x = 0. Do đó hàm số này có đúng 1 cực trị

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 82: Biết đồ thị hàm số y = x³ – 2x² + ax + b có điểm cực trị là A(1; 3). Khi đó giá trị của a + 2b là:

A. 7      B. 6

C. 3.     D. 4

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 3x² – 4x +a

Đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(1; 3) ta có:

Khi đó ta có a + 2b = 7.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 83: Cho hàm số y = x³ – 3x² - 2. Gọi a, b lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó. Giá trị của a + 2b là:

A. -6      B. 8

C. -14      D. -10

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3x² – 6x

Ta có: a = y(0) = -2; b = y(2) = -6.

Suy ra: a + 2b = -14.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 84: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = mx⁴ – (m + 1)x² + 2m - 1 có 3 điểm cực trị

A. m < -1 hoặc m > 0.      B. m < -1.

C. -1 < m < 0      D . m > -1.

Lời giải:

[Phương pháp tự luận]:

Đạo hàm y' = 4mx³ – 2(m + 1)x = 0

Hàm số có 3 điểm cực trị:

[Phương pháp trắc nghiệm]:

Đồ thị hàm số y = ax⁴ + bx² + c có 3 cực trị khi và chỉ khi a và b trái dấu hay ab < 0

Suy ra:

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 85: Tìm m để hàm số y = 1/3.x³ + (m² - m + 2)x² + (3m² + 1)x đạt cực tiểu tại x = -2.

A.      B. m = 3

C. m = 1      D. m = - 3

Lời giải:

Đạo hàm: y' = x² + 2(m² – m + 2)x + 3m² + 1 và y'' = 2x + 2.(m² – m + 2)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 86: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx⁴ + (m - 1)x² + m chỉ có đúng một cực trị.

A. 0 < m < 1      B.

C.      D. 0 ≤ m ≤ 1

Lời giải:

* Trường hợp 1: Nếu m = 0

Ta có hàm số y = -x², hàm số này có 1 cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0

Đạo hàm: y' = 4mx³ + 2(m - 1)x

Hàm số có đúng 1 cực trị

Kết hợp hai trường hợp ta có: thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 87: Cho hàm số y = 1/4.x⁴ - 2x² + 3 có đồ thị là (C). Diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C) là:

A. m = 8      B. m = 16

C. m = 2      D. m = 4

Lời giải:

Ta có đạo hàm y' = x³ – 4x

Xét phương trình y' = x³ – 4x = 0

Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(-2; -1); B(0; 3) và C(2; -1).

Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại B. Có H(0; -1) là trung điểm của AC.

Nên

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 88: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 9)x² + 10 có 3 điểm cực trị.

A. 0 < m < 3 hoặc m < - 3      B. m < -3

C. 0 < m < 3      D. -3 < m < 0

Lời giải:

Để hàm số có ba cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm số trùng phương nên m ≠ 0.

Ta có:

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy các giá trị cần tìm của m là:

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1)x⁴ – mx² + 3/2 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

A. m < -1      B. -1 < m < 0

C. m > 1      D. -1 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Ta xét hai trường hợp sau đây:

* Trường hợp 1: nếu m + 1 = 0 hay m = - 1.

Khi đó y = x² + 3/2 hàm số chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực đại

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1. Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 90: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m - 1)x + 2 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.

A. 0 ≤ m ≤ 1      B. m ≥ 1

C. m > 0      D. m > 1

Lời giải:

Ta có đạo hàm y' = 3x² – 6mx + m - 1.

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương Δ' = 9m² - 3(m - 1) > 0 ⇔ 3m² - m + 1 > 0 (đúng với mọi m).

Hai điểm cực trị có hoành độ dương

Vậy các giá trị cần tìm của m là m > 1.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 91: Gọi x₁, x₂ là hai điểm cực trị của hàm số y = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x - m³ + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để: x₁² + x₂² - x₁x₂ = 7

A. m = √2 hoặc m = -√2      B. m = 2 hoặc m = -2

C. m = 0      D. m = 1 hoặc m = -1

Lời giải:

Cách 1:

Đạo hàm y' = 3x² – 6mx + 3(m² – 1).

Xét phương trình y' = 0 có: Δ' = (3m)² – 3.3(m² – 1) = 9 > 0

⇒ Hàm số luôn luôn có cực trị với mọi m

Theo định lí Viet :

x₁² + x₂² - x₁x₂ = 7 ⇔ (2m)² - 3(m² - 1) = 7 ⇔ m = 2 hoặc m = -2.

Cách 2:

Xét y'= 0 ⇔ = 0 x² - 2mx + (m² - 1) = 0

x₁² + x₂² - x₁x₂ = 7 ⇔ (m + 1)² + (m - 1)² - (m - 1)(m + 1) = 7 ⇔ m = 2 hoặc m = -2.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 92: Cho hàm số y = (m - 1)x⁴ – 3mx² + 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu

A.      B. 0 ≤ m ≤ 1

C. 0 < m < 1.      D. m > 1

Lời giải:

Ta có: y' = 4(m - 1)x³ – 6mx = 0 (*)

* TH1: Nếu m = 1, (*) trở thành: y' = -6x = 0 hay x = 0, y''(0) = -6 < 0

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

* TH2 : Nếu m ≠ 1

Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu

Kết hợp 2 trường hợp: m ∈ [0;1].

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 93: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 19.

A. m = -3 hoặc m = 2      B. m = -2 hoặc m = 3

C. m = 0 hoặc m = 2      D. m = 0 hoặc m = - 3

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 6x² – 6(m + 1)x + 6m

Xét phương trình

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt nên

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A(1; 3m - 1) và B(m; -m³ + 3m²)

Hệ số góc của đường thẳng AB là: k = -(m - 1)²

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 19 khi và chỉ khi k = -1

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 94: Cho hàm số y = x³ – 6x² + 3(m + 2)x – m- 6. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 2 cực trị cùng dấu .

Lời giải:

Ta có: y' = 3x² – 12x + 3(m + 2)x

Phương trình y' = 0 ⇔ x² – 4x + (m + 2) = 0 (*)

Để hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt:

Δ' = 4 - (m + 2) = 2 - m > 0 ⇔ m < 2

Chia y cho y’ ta được: y = 1/3.y'(x - 2) + (m - 2)(2x + 1)

Điểm cực trị tương ứng: A(x₁; (m - 2).(2x₁ + 1)) và B(x₂; (m - 2)(2x² + 1))

Có: y₁y₂ = (m – 2)².[4x₁x₂ + 2 (x₁ + x₂) + 1]

Với:

nên: y₁.y₂ = (m - 2)².(4m + 17)

Hai cực trị cùng dấu khi và chỉ khi y₁.y₂ > 0 ⇔ (m - 2)².(4m + 17) > 0

Kết hợp điều kiện ta được:

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 95: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6m(1 - 2m)x có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình: y = -4x (d) .

A. m = 1      B. m = 0 hoặc m = 1

C. m = 0      D. m = 1/2

Lời giải:

Đạo hàm y' = 6x² + 6(m – 1)x + 6m(1 - 2m)

Xét phương trình y' = 0 ⇔ x² + (m - 1)x + m(1 - 2m)(*)

Để hàm số đã cho có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt:

⇔ Δ = (m - 1)² – 4m(1 - 2m) > 0

⇔ 9m² – 6m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1/3

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là Δ: y = -(9m² – 6m + 1)x + 2m³ - 3m² + m

Để điểm cực đại và cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = -4x khi và chỉ khi hai đường thẳng d và Δ trùng nhau:

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 96: Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = 1/3.x³ + (m - 2)x² + (5m + 4)x + 3m + 1 đạt cực trị tại hai điểm x₁, x₂ sao cho x₁ < 2 < x₂ ?

A. m < 0      B. m > -1

C. m > 0      D. m < - 1

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = x² + 2(m - 2)x + 5m + 4

Xét phương trình y' = 0 hay x² + 2(m - 2)x + 5m + 4 = 0 (1)

Để hàm số đã cho có 2 cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt (2)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Để thỏa mãn điều kiện bài toán, ta cần có: (x₂ - 2).(2 - x₁) > 0

⇔ 2(x₁ + x₂) – x₁.x₂ - 4 > 0

⇔ 2.(-2).(m - 2) - (5m + 4) - 4 > 0

⇔ -4m + 8 – 5m – 4 = - 9m + 4 > 0

Kết hợp với điều kiện (2) ta được m < 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 97: Tìm số nguyên m lớn nhất để hàm số y = 1/3.x³ - (m - 2)x² + (4m - 8)x + m + 1 đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < -2 < x₂

A. m = 0      B. m = - 1

C. m = 1      D. m = 2

Lời giải:

Đạo hàm y’ = x² – 2(m - 2)x + 4m – 8 (*)

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi-et ta có:

Để x₁ < -2 < x₂ khi và chỉ khi x₁ + 2 < 0 và x₂ + 2 > 0

⇔ (x₁ + 2).(x₂ + 2) < 0 ⇔ x₁.x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4 < 0

⇔ 4m – 8 + 2.2(m - 2) + 4 < 0 ⇔ 8m – 12 < 0 ⇔ m < 3/2

Kết hợp với điều kiện (1); các giá trị m thỏa mãn là m < 3/2.

Vậy số nguyên m lớn nhất thỏa mãn là m = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 98: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau đạt cực đại và cực tiểu và có hoành độ các điểm cực trị lớn hơn m?

A. m < - 2      B. m > -1

C. m < 2      D. m > 2

Lời giải:

Đạo hàm y' = x² + x + m

Để hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x> m khi và chỉ khi phương trình y' = 0

Có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn m < x₁ < x₂

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 99: Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + mx – 1 có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 3

A. m = 1/2      B. m = -3/2

C. m = 3/2      D. m = 1

Lời giải:

Ta có y' = 3x² - 6x + m (*)

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt:

⇔ Δ = (-6)² – 4.3.m = 36 – 12m > 0 ⇔ m < 3

Với m < 3 thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ theo hệ thúc Vi- et ta có:

Theo giả thiết x₁² + x₂² = 3 ⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁.x₂ = 3

(thỏa mãn điều kiện ).

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 100: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x³ – 3mx² + 4m³ có 2 điểm cực trị A và B sao cho AB = √20

A. m = 1 hoặc m = -1      B. m = 2 hoặc m = -2

C. m = 1 hoặc m = 2      D. m = 3 hoặc m = -3

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y'= 3x² – 6mx

Xét phương trình

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0; 4m³); B(2m; 0)

Ta có:

Để

⇔ 4m² + 16m⁶ = 20 ⇔ m² = 1 ⇔ m = 1 hoặc m = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 101: Cho hàm số sau, tính khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số?

A. √5      B. 2√5

C. 3√5      D. 5

Lời giải:

Ta có:

Xét phương trình:

Toạ độ 2 điểm cực trị là A (0; -m) và B(2; 4 - m)

Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là:

Suy ra chọn đáp án B.