200 bài tập trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao) - Toán lớp 12

---

200 bài tập trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao)

Với 200 bài tập trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao) Toán lớp 12 tổng hợp 200 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bài 1: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số

y= 1/3x³+ (m+3)x² + 4(m+3)x+ m³ - m đạt cực trị tại x₁;x₂ thỏa mãn -2 < x₁ < x₂

A. m < -2.    B.m < 1.    C. m < -3    D.m > 3

Lời giải:

+ Ta có y^'= x²+2(m+3)x+4(m+3)

Yêu cầu của bài toán tường đương y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn: -2 < x₁ < x₂

Chọn C.

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

y= 1/3mx³-(m-1)x²+ 3(m-2)x+1/6 đạt cực trị tại x₁ < x₂ thỏa mãn 4x₁ + 3x₂ = 3

Lời giải:

Ta có y'= mx²- 2(m-1)x+3(m-2)

Yêu cầu của bài toán tương đương y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁;x₂ thỏa mãn: 4x₁+3x₂ = 3

Chọn D.

Bài 3: Cho hàm số y= f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đạo hàm là hàm số y= f’ (x) với đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương . Khi đó đồ thị hàm số y= f( x) cắt trục tung tại điểm có tung độ là bao nhiêu?

A. 2/3    B. 1    C. 3/2    D. 4/3

Lời giải:

+Ta có đạo hàm f’ (x)= 3ax²+ 2bx+c .

+ Dựa vào đồ thị hàm số y= f’(x) ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (0 ; 0) ; (1 ; -1) ; (2 ; 0) nên a= 1/3 ; b= -1 ; c= 0.

Do vậy hàm số cần tìm có dạng y= 1/3 x³-x²+ d .

Điểm tiếp xúc với trục hoành là cực trị của đồ thị hàm số và tại đó ta có x= 0 hoặc x= 2. + Vì đồ thị hàm số y= f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm x= 2 nghĩa là:

f(2) = 0 hay 8/3-4+ d = 0 nên d= 4/3

chọn D.

Bài 4: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

Lời giải:

+ Điều kiện -4≤x≤4.

Ta thấy hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ -4; 4]

Ta có y = t - 4(t²-8/2) + 5 = -2t² + t + 21 = f(t)

+ Tìm điều kiện của t:

Xét hàm số g(x) = √(x+4) + √(4-x) với -4≤x≤ 4

Chọn D.

Bài 5: Cho hàm số y= 2x³ - 3x² + 1 có đồ thị và đường thẳng d: y=x-1. Giao điểm của (C) và d lần lượt là A( 1; 0); B và C. Khi đó khoảng cách giữa B và C là

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d

2x³ - 3x² + 1 = x-1 hay 2x³-3x²-x+2=0

Khi đó ta có A(1 ; 0) ; B( x₁ ; x₁-1) và C( x₂ ; x₂-1) ( x₁ ; x₂ là nghiệm của (1))

Ta có , suy ra

Chọn B.

Bài 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin⁴x+ cos²x+ 3 bằng

A. 5    B. 6    C.4    D.tất cả sai

Lời giải:

Ta có 2sin⁴x+ cos²x+ 3 = 2sin⁴x- sin²x+ 4.

Đặt t= sin²x; 0≤ t= sin² t ≤1

Xét hàm số f(t) = 2t⁴- t²+ 4 liên tục trên đoạn [0;1]

Có đạo hàm f’(t) = 8t³-2t= 2t( 4t²-1)

Trên khoảng (0;1) phương trình f’ (t) =0 khi và chỉ khi t= 1/2

Ta có: f(0) = 4; f(1/ 2) = 31/ 8 và f( 1) = 5

Vậy tại t= 1/2

⇔ cos2x = 0 ⇔ x = π/4 + kπ/2

Chọn D.

Bài 7: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin⁸x+ cos⁴2x. Khi đó M + m bằng

A. 28/27 .    B. 4 .    C. 82/27 .    D. 2.

Lời giải:

Do nên ta có

Đặt t= cos 2x; -1≤ t ≤1

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

G(t) = 1/8. (1-t)⁴+ t⁴ với - 1≤ t≤1

Ta có g'(t) = -1/2(1-t)³ + 4t³ ; g'(t) = 0 ⇔ (1-t)³ = 8t³ ⇔ 1-t = 2t ⇔ t = 1/3

Lại có; g (1) = 1; g( -1) = 3; g( 1/3) = 1/27

Vậy m= 1/27; M = 3 nên M + m = 3 + 1/27 = 82/27

Chọn C.

Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y= x³ + mx + 2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A.m > 1     B. m > 2     C. m > -3     D. m < -2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: x³+mx+2=0

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với m = -x² - 2/x

Xét hàm số f(x) = -x² - 2/x với x≠0,

suy ra . Vậy f’(x)=0 khi x=1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi m > -3.

Vậy m > -3 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Bài 9: Hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là:

A. 2√2 -2 ; 2 .    B. 2√2 + 2; 2 .    C. 2√2; 2 .    D. 2;0 .

Lời giải:

TXĐ: D= [ -3; 1].

Đặt:

Khi đó phương trình trở thành: y = t²/2 + t - 2 => y' = t + 1 > 0 ∀ t ∈ [2;2√2]

Do đó hàm số đồng biến trên D.

=> min y = y(2) = 2; max y = y(2√2) = 2 + 2√2

Bài 10: Cho f(x) = (m⁴+1)x⁴ + (-2^m+1.m²-4)x² + 4^m + 16. Số cực trị của hàm số y = |f(x)-1| là

A. 2    B. 4    C. 3    D. 5

Lời giải:

Ta có: y = |f(x)-1|

Do f(x) = (m⁴+1)x⁴ + (-2^m+1.m²-4)x² + 4^m + 16 có 3 điểm cực trị ( vì ab < 0) nên phương trình f’ ( x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Do f(x) = 1 ⇔ (m⁴+1)x⁴ + (-2^m+1.m²-4)x² + 4^m + 15 = 0

⇔ m⁴x⁴ - 2.2^m.m² + 4^m + x⁴ - 4x² + 15 = (m²² - 2^m) + x⁴ - 4x² + 15 = 0 vô nghiệm

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Bài 11: Cho hàm số y= ax³ + bx² + cx+ d có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số y = |ax³ + bx² + cx + d + 1| có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Lời giải:

Ta có thể vẽ đồ thị hàm số y= |ax³ + bx² + cx+ d| theo ba bước sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 4 cực trị.

Chọn C.

Bài 12: Hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ là:

A. 2√2 + 4; 2 .    B. 2√2 - 4; 2 .    C. 2√2; 2 .    D. 4; 2

Lời giải:

TXĐ: D= [ -2; 2].

Đặt: t = √(x+2) + √(2-x) (2 ≤ t ≤ 2√2)

=> 2√(4-x²) = 2√(2-x).√(2+x) = t² - 4

Khi đó hàm số trở thành:

y= f(t) = t²+ t- 4 và có đạo hàm f’ (t)= 2t+ 1 > 0 trên D.

Hàm số đồng biến với mọi t ∈ [2;2√2]

Do đó; min y= f(2) =2;

max y = 4 + 2√2

Chọn A.

Bài 13: Cho hàm số y = mx-1/(x+2) có đồ thị là (C) . Tìm m để đường thẳng d: y=2x-1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho AB= √10.

A.m= 2    B. m=3    C. m= 1    D. m= 4

Lời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm:

Điều kiện: x≠-2 Khi đó

(1) Suy ra: mx-1=(2x-1) (x+2) hay 2x²-(m-3)x-1=0 (2)

+ Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( 2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

Đặt A( x₁; 2x₁-1); B( x₂; 2x₂-1) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có , khi đó

Vậy giá trị m cần tìm là m=3.

Chọn B.

Bài 14: Hàm số y = x⁸ + (x⁴-1)² + 5 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ x₁; x₂. Khi đó tích x₁.x₂ có giá trị bằng

A. 1.    B. 2.    C. 3/2    D. 0.

Lời giải:

Đặt t= x⁴- 1( -1≤ t≤ 15).

Khi đó hàm số trở thành: y= ( t+1)²+ t²+ 5=2t²+ 2t+6

Đạo hàm y’ = 4t+ 2 > 0 mọi x thòa mãn 0≤ x≤ 2

Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2].

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x= 2 tức là t= 15, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= 0 hay t=1

Chọn D.

Bài 15: Cho phương trình có nghiệm duy nhất có dạng b/a , trong đó a; b và số tự nhiên, b/a là phân số tối giản. Hãy tính giá trị của a+ 2b

A. 4     B. 5     C. 6     D.7

Lời giải:

Điều kiện:

Xét hàm số

Tập xác định : D = [1/2; +∞]

Đạo hàm

Suy ra hàm số đồng biến trên D = [1/2; +∞]

Do đó : phương trình

Chọn B.

Bài 16: Cho phương trình x³-3x²+1-m=0. Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa x₁ < 1 < x² < x³ khi

A. m=-1    B.-1 < m < 3    C. -3 < m < -1    D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có x³-3x²+1-m=0 (1) là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số y= x³-3x²+1 và y=m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

Xét y= x³-3x²

Tính y’= 3x²- 6x

Ta có y' = 0 ⇔ 3x²- 6x = 0 .

Ta có x=1 thì y= -1

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị y= x³-3x²+1 .

và đường thẳng y=m .

Do đó, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3 < m < -1

Chọn C.

Bài 17: Cho phương trình: 2x³ + x² - 3x + 1 = 2(3x-1)√(3x-1) . Tính tổng các nghiệm cùa phương trình là :

A.1    B. 2    C.3    D.4

Lời giải:

Điều kiện: x≥1/3

Ta có:

Xét hàm số f(t) = 2t³+ t²+ 1 liên tục tên R.

Ta có: đạo hàm f’ (t) = 6t²+2t > 0 với t > 0.

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞).

Tổng các nghiệm là 3.

Chọn C.

Bài 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = 1/3x³ - 1/2mx² + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

A. m= -1; m= 9.    B. m= -1    C.m= 3.    D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đạo hàm y’ = x² - mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 khi và chi khi phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x₁; x₂ ( chú ý hệ số a= 1 > 0) thỏa mãn:

Tổng các nghiệm là 3.

Chọn A.

Bài 19: Với giá trị nào của tham số m thì (C): y=x³-3(m+1) x²+2(m2+4m+1)x-4m(m+1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

A. 1/2 < m ≠ 1    B. m > 1/ 2    C.m < 1/2    D.m

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục Ox:

x³-3(m+1) x²+2(m2+4m+1)x-4m(m+1)=0

hay (x-2) (x²-(3m+1) x+2m²+2m)=0

Yêu cầu bài toán Tổng các nghiệm là 3.

Vậy chọn 1/2 < m ≠ 1 .

Chọn A.

Bài 20: Cho hàm số y=x³-3x²+4 có đồ thị (C) . Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. 4    B.1    C. 6    D. vô số

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d; y=k(x-1)+2.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

x³-3x²+4 = k(x-1)+2. Hay x³-3x²-kx+k+2= 0 (1)

(C) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 1

Hơn nữa theo Viet ta có

nên I là trung điểm AB.

Vậy chọn k > -3 , hay k ∈ (-3; +∞) . Do đó có vô số giá trị k nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Bài 21: Cho hàm số y= x³-3x²-m-1 có đồ thị (C) . Giá trị của tham số m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

A. m=0    B. m=3    C. m=-3    D. m = ±6

Lời giải:

Đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x³-3x²-1= m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.

Suy ra đường thẳng y=m đi qua điểm uốn của đồ thị y=x³-3x²-1 (do đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).

Mà điểm uốn của y= x³-3x²-1 là I(1 ; -3) .

Suy ra m=-3.

Chọn C.

Bài 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/4) ?

A. 1≤ m < 2.    B. m≤ 0 .    C. m > 2    D. Cả A và B đúng

Lời giải:

+) Điều kiện tanx ∈ m .

Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên (0;π/4) là m ∉ (0;1)

+) đạo hàm : .

+) Ta thấy:

+) Để hàm số đồng biến trên (0;π/4) 1≤ m < 2

Chọn A.

Bài 23: Tập nghiệm của bất phương trình: có bao nhiêu giá trị nguyên trong ( 0; 2008]

A.2006    B. 2001    C. 2008    D. 2007

Lời giải:

Điều kiện: x≥ 1/5

Xét hàm số: liên tục trên nửa khoảng [1/5 ; +∞) .

Ta có:

Do đó hàm số f( x) là hàm số đồng biến trên [1/5 ; +∞).

Mặt khác : f( 1) =4

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥ f(1) hay x≥1.

Ta thấy từ (0 ; 2008] có các giá trị của x thỏa mãn là : 1 ;2 ;3 ;4....2008.

Chọn C.

Bài 24: Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B. Với C( -2; 5) , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là

A.m=1    B.m=1 hoặc m=5

C.m=5    D.m=-5

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

Khi đó cắt (C) tại hai điểm phân biệt A: B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m) trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có

Gọi là trung điểm của AB, suy ra , nên

Mặt khác .

Vậy tam giác ABC đều khi và chỉ khi

Chọn B.

Bài 25: Bất phương trình có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a²+ b² có giá trị là bao nhiêu?

A.4    B.7    C.10    D. 17

Lời giải:

Điều kiện: -2 ≤ x≤ 4.

Xét trên đoạn [ -2; 4].

Có .

Do đó hàm số đồng biến trên [-2; 4] ,

Bất phương trình đã cho trở thanh f(x)≥ f(1) =2√3

Kết hợp với điều kiện hàm số đồng biến suy ra x≥1.

So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là [1; 4].

Do đó: a² + b² = 17.

Chọn D.

Bài 26: Bất phương trình có tập nghiệm là ( a; b]. Hỏi 4a-b có giá trị là bao nhiêu?

A. 1.    B. 3.    C. 5.    D.7

Lời giải:

Điều kiện: 1≤ x≤ 3

Với điều kiện trên bpt

Xét với t≥0 .

Có .

Do đó hàm số đồng biến trên [0;+∞] .

Khi đó (1) tương đương f(x-1) > f(3-x) hay x-1 > 3-x

Suy ra x > 2

So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là (2; 3] và 4a- b= 5

Chọn C.

Bài 27: Cho hàm số: y=x³+2mx²+3(m-1)x+2 có đồ thị (C) . Đường thẳng d: y= - x+2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0; -2); B và C. Với M(3;1) giá trị của tham số m để tam giác MBC có diện tích bằng 2√7 là

A.m=-1    B.m=-1 hoặc m=4

C.m=4    D. Không tồn tại m

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

x³+2mx²+3(m-1)x+2 =-x+2 hay x(x²+2mx+3(m-1))=0

suy ra x=0 hoặc x²+2mx+3(m-1)=0 (1)

Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó ta có: C( x₁ ; -x₁+2) ; B(x₂ ; -x₂+2) trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) ; nên theo Viet thì .

Vậy

Diện tích tam giác MBC bằng khi và chỉ khi

Chọn B.

Bài 28: Phương trình x³ + x(x+1) = m(x²+1)² có nghiệm thực khi và chỉ khi:

A. m < 3/4    B. 1/4 < m    C. m > 3    D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có (1)

Xét hàm số xác định trên R.

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y= m cắt đồ thị hàm số

Khi và chỉ khi -1/4 ≤ m≤ 3/4.

Chọn D.

Bài 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có đúng 2 nghiệm dương?

A. 1 ≤ m ≤ 3 .    B. -3 < m √5 .    C. -√5 < m < 3 .    D. -3 ≤ m ≤ 3 .

Lời giải:

Đặt .

Ta có và f’ = 0 khi và chỉ khi x=2

Xét x > 0 ta có bảng biến thiên

Khi đó phương trình đã cho trở thành m= t²+ t- 5 hay t² + t- 5-m= 0 (*)

Nếu phương trình (* ) có nghiệm t₁; t₂ thì t₁+ t₂= -1.

Do đó (*) có nhiều nhất 1 nghiệ m t≥ 1.

Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm t ∈ (1; √5) .

+ Đặt g(t) = t²+ t- 5. Ta đi tìm m để phương trình (*) có đúng 1 nghiệm t ∈ (1; √5) .

Ta có g'(t) = 2t + 1 > 0, t ∈ (1; √5) .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra -3 < m < √5 là các giá trị cần tìm.

Chọn B.

Bài 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: x²- 3x+ 2≤ 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx²+ (m+ 1) x+ m+1≥0?

A. m < -1    B. m ≤ -4/7 .    C. m ≥ -4/7 .    D. m > -1

Lời giải:

Giải bất phương trình x²- 3x+ 2≤ 0 ta được 1≤x≤2.

Bất phương trình mx²+ (m+ 1) x+ m+1≥0

Xét hàm số với 1≤ x≤ 2

Có đạo hàm

Yêu cầu bài toán

Chọn C.

Bài 31: Cho hàm số y = 1/3x³ - mx² - x + m + 2/3 có đồ thị (C) . Tất cả các giá trị của tham số m để (C) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂; x₃ thỏa x₁² + x₂² + x₃² > 15 là

A.m > 1 hoặc m < -1    B.m < -1    C.m > 0    D.m > 1

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

(C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

.

Gọi x₁ = 1 còn x₂; x₃ là nghiệm phương trình (1) nên theo Viet ta có .

x₁² + x₂² + x₃² > 15 ⇔ 1 + (x₂ + x₃)² - 2x₂x₃ > 15

⇔ (3m-1)² + 2(3m+2) - 14 > 0 ⇔ 9m² - 9 > 0 ⇔ m > 1 và m < -1

Chọn A

Bài 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm thực?

A. m≤3    B. m≤ 5    C. m > 1    D. đáp án khác

Lời giải:

Điều kiện: x≥ -1/2

Phương trình

Vì x= 0 không là nghiệm nên (*)

Xét .

Ta có đạo hàm

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m ≥ 9/2.

Chọn D.

Bài 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm thực?

A. 1/3 ≤ m < 1 .    B. -1 ≤ m ≤ 1/4 .    C. -2 < m ≤ 1/3 .    D. 0 ≤ m ≤ 1/3 .

Lời giải:

Điều kiện : x≥ 1

Pt

với x≥ 1 ta có 0≤ t < 1.

Thay vào phương trình ta được m= 2t- 3t² = f(t)

Ta có đạo hàm f’ (t) = 2-6t ta có: f’ (t) =0 khi t= 1/3

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm khi 0≤ m < 1/3.

Chọn D.

Bài 34: Cho hàm số y= f(x) xác định và liên tục trên [ a; e] và có đồ thị hàm số y= f’ (x) như hình vẽ bên. Biết rằng f(a) + f( c)) = f( b) + f( d). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f( x) trên [ a; e]?

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f( b) nhưng giá trị lớn nhất có thể là f (a) hoặc f( e)

Theo giả thiết ta có: f(a) + f( c)) = f( b) + f( d) nên f(a) - f( d)) = f( b) - f( c) < 0

Suy ra : f( a) < f( d) < f( e)

Vậy

Chọn C.

Bài 35: Cho hàm số y= f(x) = x⁴+ 2mx²+ m . Tìm m để f(x) > 0 với mọi m .

A. m > 0    B.m < 0    C.m < 1    D.m > 1

Lời giải:

Theo đầu bài:

y= f(x) = x⁴+ 2mx²+ m > 0 với mọi x ∈ R

phuơng trình g’ (x) =0 khi và chỉ khi x=0

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên từ (*) suy ra m > 0.

Chọn A.

Bài 36: Cho hàm số y= x⁴-(3m+4)x²+m² có đồ thị là (C) . Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A: 0    B: 1     C: 2     D: 3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴-(3m+4)x²+m² = 0 (1)

Đặt t=x²≥0

phương trình (1) trở thành: t²-(3m+4)t+m²=0 (2)

(C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi (1) có bốn nghiệm phân biệt

Hay (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm 0 < t₁ < t₂

Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là x₁ = -√(t₂) < x₂ = -√(t₁) < x₃ = √(t₁) < x₄ = √(t₂) .

Bốn nghiệm x₁; x₂ ; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng

⇔ x₂ - x₁ = x₃ - x₂ = x₄ - x₃ ⇔ -√(t₁) + √(t₂) = 2 √(t₁)

⇔ √(t₂) = 3√(t₁) ⇔ t₂ = 9t₁ (3)

Theo định lý Viet ta có

Từ (3) và (4) ta suy ra được

Thay (6) vào (5) ta được

Vậy giá trị m cần tìm là m=12; m=-12/19; có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Bài 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: -x³ + 3mx - 2 < -1/x³ nghiệm đúng mọi x≥ 1 ?

A. m < 1    B. m < 2/3    C. m ≥ 3/2.    D. -1/3 ≤ m ≤ 3/2 .

Lời giải:

Bpt .

Ta có

suy ra f( x) là hàm số đồng biến

Bất phương trình đã cho đúng với mọi x≥ 1 khi và chỉ khi f(x) > 3

Hay min f(x) = f(1) =2 > 3m

Suy ra m < 2/3.

Chọn B.

Bài 38: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để:

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Điều kiện: .

Đặt t= x²- 2x; t’ = 2x- 2 và t’ =0 khi x= 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra tập giá trị của t là [ 3; 8].

Để (* ) có nghiệm khi và chỉ khi ( 1) có nghiệm t ∈ [3;8]

Xét hàm số trên [3; 8] có:

Cho f’ (t) =0 khi t= 11/2; f( 3) =f( 8) =√5;f(11/2)=√10 nên

Vậy m ∈ (-∞; √10) sẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Bài 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y= x³-3( m+1) x²+ 12mx-3m+ 4 ( C) có hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C( - 1; -9/2) lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.

A.m= -1/2    B. m= -2    C. m=2    D.m =1/2

Lời giải:

Ta có đạo hàm y’ = 3x² - 6(m+ 1) x+ 12m.

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Hay (m-1)² > 0 suy ra m≠1 ( *)

Khi đó hai điểm cực trị là A(2; 9m) : B( 2m; -4m³+ 12m²-3m+ 4).

ΔABC nhận O làm trọng tâm ⇔ (thoả (*).

Chọn A.

Bài 40: Cho hàm số y= x⁴- 2( 1-m²) x²+ m+1. Tồn tại giác trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất . Khi đó khẳng định nào đúng?

A. m là số nguyên dương    B. m không là số nguyên

C. m= 1    D. Tất cả sai

Lời giải:

Ta có đạo hàm y’ = 4x³- 4( 1-m²)x

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi -1 < m < 1

Tọa độ điểm cực trị A( 0; m+ 1) ;

Phương trình đường thẳng BC: y+ m⁴ - 2m² - m = 0

d( A: BC) = m⁴ - 2m²+ 1, BC = 2√(1-m²)

Vậy S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi m= 0.

Chọn D.

Bài 41: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= 2x³+ 3( m-3) x²+ 11- 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C( 0; -1) thẳng hàng .

A. -2    B. -3    C. 3    D. 4

Lời giải:

Ta có đạo hàm y’ = 6x₂+ 6( m-3) x

y’=0

Hàm số có 2 cực trị khi 3-m≠0 hay m≠3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A( 0; 11-3m) và

B( 3-m; m3-9m2+ 24m -16) ; .

Phương trình đt AB: ( 3-m) 2x+ y-11+3m=0

Để 3 điểm A; B; C hẳng hàng khi và chỉ khi C thuộc đường thẳng AB.

Hay : -1-11=3m= 0 hay m= 4.

Chọn D.

Bài 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y= x³-3mx+ 2 cắt đường tròn tâm I (1; 1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A và B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

Lời giải:

Đạo hàm y’ = 3x² – 3m

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m > 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Phương trình đường thẳng MN: 2mx+ y-2=0

Ta có :

Dấu bằng xảy ra khi ∠AIB = 90^o

Chọn B.

Bài 43: Cho hàm số y= f( x) . Hàm số y= f’ (x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y= f( x²) có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

A. 5    B . 3    C. 2    D. 4

Lời giải:

Ta có g( x) = f( x²) nên g’ (x) = 2x. f’( x²)

Xét g'( x) < 0 ⇔ x.f'( x) < 0

Vậy hàm số đã cho có 3 khoảng nghịch biến.

Chọn B.

Bài 44: Cho hàm số y= f( x) ( x-1) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f( x)|x-1| = m có số nghiệm lớn nhất A.( -0, 6; 0]    B.(-0,6; 0)    C. (0; 0,06)    D.( 0; 0,6)

Lời giải:

TH1: Với x- 1≥0 hay x≥ 1 khi đó f( x)|x-1| = m ⇔ m = f( x)(x-1) (1) Dựa vào đồ thị ( C) trên khoảng [1; +∞] để (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi -0,6 < m ≤0 TH2: Vớix < 1 khi đó f( x)|x-1| = m ⇔ -m = f( x)(x-1) (2) Dựa vào đồ thị (C) trên khoảng (-infin; -1) để (1) có 3 nghiệm Khi và chỉ khi 0≤ -m < 0,7 hay – 0,7 < m ≤0 Kết hợp 2 TH, ta thấy -0,6 < m < 0 thì phương trình có tối đa 5 nghiệm ( m= 0 loại vì phương trình có 4 nghiệm). Chọn B.

Bài 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y=2x³-3( m+1) x²+ 6mx có hai điểm cực trị A; B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y= x+ 2.

A. 0; 3    B.2; 4    C.0; 2    D.1; 3

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm y’ = 6x²- 6( m+ 1) x+ 6m

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m≠ 1

Tọa độ 2 điểm cực trị là A( 1 ; 3m-1) và B ( m ; -m³+ 3m²)

+ Hệ số góc đường thẳng AB là :k= - ( m-1)²

+ Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y= x+ 2 khi và chỉ khi k= -1

Hay – ( m-1)²= -1( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1)

Chọn C.

Bài 46: Cho hàm số y= f(x) = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e và hàm số y= f’( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết f( b) < 0 , hỏi đồ thị hàm số y= f(x) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Vì f( b) < 0 nên rõ ràng có nhiều nhất 2 giao điểm.

Chọn B.

Bài 47: Tìm m để hàm số nghịch biến (0; +∞)

Lời giải:

Ta có

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ f'(x) ≤ 0

Lại có

Vậy (*) ⇔

Chọn C.

Bài 48: Cho hàm số y= x³- 6x²+ 3( m+ 2)x-m-6. Hỏi có mấy giá trị nguyên của m để hàm số có 2 cực trị cùng dấu .

A. 4    B.5    C.6    D. 3

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 12x+ 3( m+ 2)

Phương trình y’ = 0 khi 3x²- 12x+ 3( m+ 2) = 0

+ Hàm số có 2 điểm cực trị x₁; x₂ ⇔ Δ' > 0 ⇔ m < 2

+ Chia y cho y’ ta được :y= 1/3.y’( x-2) + (m-2) (2x+ 1)

Tọa độ 2 điểm cực trị tương ứng : A( x₁ ; ( m-2) ( 2x₁+ 1) ) và B( x₂ ; ( m-2) ( 2x₂+ 1) )

+ ta có ; y₁.y₂= ( m-2)²( 4x₁x₂+ 2( x₁+ x₂) + 1)

Với : nên :y₁.y₂= ( m-2)²( 4m+ 17)

Hai cực trị cùng dấu khi và chỉ khi y₁.y₂ > 0 hay ( m-2)²( 4m+ 17) > 0

Kết hợp điều kiện ta được : -17/4 < m < 2; mà m nguyên nên m= -4; -3; ...0; 1

Có tất cả 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Bài 49: Cho hàm số y= 2x³- 9x²+ 12x+m. Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời A, B cùng với gốc tọa độ O không thẳng hàng. Khi chu vi tam giác OAB nhỏ nhất thì m bằng bao nhiêu?

A. -11/3.    B. -13/ 3    C. -14/ 3    D. 8/3

Lời giải:

+ Đạo hàm y’ = 6x² – 18x+ 12

+ Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1; 5+m) và B( 2; 4+ m),

O ; A và B không thẳng hàng nên – 4-m≠ 2 hay m≠ - 6

Chu vi của tam giác OAB là:

Sử dụng tính chất

Từ đó ta có :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng .

Vậy chu vi tam giác OAB nhỏ nhất bằng khi m= -14/ 3.

Chọn C.

Bài 50: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận?

Lời giải:

+ Vì bậc tử số < bậc mẫu số nên luôn có một tiệm cận ngang y= 0

+ Vì phương trình vô nghiệm nên chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng nữa đó là đường thẳng x= -m-2.

Vậy vơi mọi x; đồ thị hàm số đã cho luôn có hai tiệm cận.

Chọn C.

Bài 51: Cho hàm số y= x⁴-2mx²+ m-1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm .

A.m= 0    B. m= 1    C.m= 1; 2    D. m= 0; 1

Lời giải:

+ Đạo hàm y’ = 4x³- 4mx

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m≠0.

+ Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A( 0; m-1) ;

+ Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC và OA vuông góc với nhau.

Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi OB vuông góc AC hay

Với

Từ đó : - m+ m²( m²+ m- 1) = 0

Kết hợp với điều kiện m≠0 thì m= 1 là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Bài 52: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f'(x) = x²(x-9)(x-4)². Xét hàm số y= g(x) =f(x²). Trong các phát biểu sau; tìm số phát biểu đúng

I. Hàm số y= g( x) đồng biến trên( 3; +∞)    II. Hàm số y= g(x) nghịch biến trên( -∞; -3)

III. Hàm số y= g(x) có 5 điểm cực trị    IV.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2x.f'(x²) = 2x⁵(x² - 9)(x² - 4)² = 0

Bảng biến thiên của hàm số y= g( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 3: + ∞) hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -3) .

Hàm số có 3 cực trị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= ±3

Vậy có 3 khẳng định đúng là khẳng định I, II, IV

Chọn C.

Bài 53: tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số y= x⁸+ (m-2) x⁵- ( m²- 4) x⁴+ 1 đạt cực tiểu tại x= 0

A. 3 .    B. 5 .    C. 4 .    D. 2.

Lời giải:

+ Ta có: y' = 8x⁷ + 5(m-2)x⁴ - 4(m² - 4)x³ = .

Ta xét các trường hợp sau

+ Nếu m²- 4= 0 hay m= ± 2

Khi m= 2 thì y’ = 8x⁷ nên x=0 là điểm cực tiểu.

Khi m=y’ = x⁴( 8x⁴- 20 ) khi đó x= 0 không là điểm cực tiểu.

+ Nếu m≠ ± 2 .Khi đó ta có y' = x²[8x⁵ + 5(m-2)x² - 4(m² -4)x]

Số cực trị của hàm y= x⁸+ (m-2) x⁵- ( m²- 4) x⁴+ 1 bằng số cực trị của hàm g’( x)

g'(x) = 8x⁵ + 5(m-2)x² - 4(m²-4)x

g''(x) = 40x⁴ + 100(m-2)x - 4(m² -4)

+ Nếu x= 0 là điểm cực tiểu thì g’’ (0) > 0.

Khi đó -4( m²- 4) > 0 hay -2 < m < 2

Mà m nguyên nên m= -1; 0; 1

Kết hợp cả 3 trường hợp có 4 giá trị nguyên của m và tổng của chúng là: 2+ ( -1) +0+ 1=2

Chọn D

Bài 54: Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |e^2x - 4e^x + m| trên [ 0; ln4] bằng 6 .

A. 3 .    B. 4 .    C. 1 .    D. 2 .

Lời giải:

Đặt t= e^x , với x∈ [ 0; ln4] => t ∈ [1;4] .

Khi đó f(x) = |t³ - 4t +m| = |g(t)| .

Có g’ (t) = 2t-4 và g’ (t) =0 khi t= 2.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy .

Chọn D.

Bài 55: Cho hàm số có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) . Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A; B thuộc (C) , đoạn thẳng AB có độ dài bằng

A. √6 .    B. 2√3 .    C. 2 .    D. 2√2 .

Lời giải:

+ Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x= -2 và tiệm cận ngang là y= 1.

Giao điểm hai đường tiệm cận là I ( -2; 1) .

Ta có:

Đặt a₁ = a+ 2 ; b₁ = b+ 2( a₁≠ 0 ; b₁≠0 ; a₁ ≠ b₁

Tam giác ABI đều khi và chỉ khi

Ta có

+ Trường hợp a₁= b₁ loại

+ Trường hợp a₁= - b₁ ; a₁b₁ = -3 (loại vì không thỏa (2) .

+ Trường hợp a₁. b₁ = 3 thay vào ( 2) ta được

Vậy

Chọn B.

Bài 56: Tính tổng các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = -x⁴ + 2mx² - 4m + 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 hình thoi.

A. Không tồn tại m.    B.2    C.1/4    D. 9/4

Lời giải:

+ Đạo hàm y’ = -4x³+ 4mx= -4x( x²- m)

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0

+ Tọa độ ba điểm cực trị là: A( 0; 1-4m) ;

Tứ giác OBAC đã có OB= OC; AB= AC.

Vậy tứ giác OBAC là hình thoi khi và chỉ khi : m + (m² - 4m + 1)² = m + m⁴

OB =AC hay (m² - 4m +1)² = m⁴

Tổng các giá trị của m thỏa mãn đầu bài là 9/4.

Chọn D.

Bài 57: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y= - x³+ 3x²+ 3( m²-1 )x-3m²-1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.

A.0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải:

+ Đạo hàm y’ = -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có Δ' = m² .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ m ≠0. (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có: .

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA = OB hay OA² = OB²

(1 - m)² + 4(1+m³)² = (1+m)² + 4(1-m³)² .

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m = ±1/2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Bài 58: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số

y = |x³ - x² + (m²+1)x - 4m - 7| trên đoạn [ 0; 2]m không vượt quá 15 ?

A.4    B . 6    C. 5    D. 8

Lời giải:

+ Xét hàm số f( x) = x³- x²+ ( m²+ 1) x- 4m- 7 trên đoạn [ 0; 2]

Ta có f’ (x) = 3x²- 2x+ m²+ 1= 3( x-1/3)²+ m²+ 2/3 > 0 .

+ Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0;2]

+ Khi đó

Vậy có 5 giá trị thoả mãn.

Chọn C.

Bài 59: Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt M( x₁; y₁) và N( x₂; y₂) ( M; N khác A) sao cho y₂- y₁= 8( x₂- x₁) .

A. 0    B. 2    C. 3    D. 5

Lời giải:

+ Đạo hàm : y’ = 4/3.x³-28/3. x

Vậy tiếp tuyến của (C) tại A có hệ số góc bằng 8 .

+ Xét phương trình

+) Với x= 3 thì A( 3; -15) nên phương trình tiếp tuyến của ( C) tại A là y= 8 ( x-3) -15 .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d₁) là

8(x-3)- 15 = 1/3x⁴ - 14/3x² ⇔ (x-3)² (x² + 6x + 13) = 0 ⇔ x = 3

Vậy A(3; -15) loại.

+) Với x= -2 thì A(-2; -40/3). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là

y = 8 ( x+ 2) -40/3 (d₂) .

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và (d₂) là

Vậy A( -2; -40/3) thỏa mãn.

+) Với x= -1 thì A( -2; -13/ 3) nên phương trình tiếp tuyến của C tại A là

y= 8( x+ 1) -13/3 (d₃).

Phương trình hoành độ giao điểm của C và d₃ là

Vậy A( -1; -13/3) thỏa mãn.

Vậy có tất cả điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Bài 60: Cho hàm số y = |x⁴ - 4x³ + 4² + a| . Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ -3; 3] sao cho M≤ 2m?

A. 4    B. 5    C. 6    D. 3

Lời giải:

+ Xét hàm số y= xx⁴ - 4x³ + 4² + a trên đoạn [ 0; 2].

Ta có đạo hàm y’ = 4x³-12x²+ 8x, y' = 0 .

Khi đó; y( 0) = y( 2) = a; y( 1) = a+ 1

+ Nếu a≥ 0 thì M= a+ 1,m = a.

Để M ≤ 2m khi a≥ 1, suy ra a∈{1;2;3} thỏa mãn

+ Nếu a≤ - 1 thì M = |a| = -a, m = |a+1| = -a-1 .

Để M≤ 2m thì a≤ -2, suy ra a∈{ -2;-3}.

Vậy có giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu.

Chọn B.

Bài 61: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x² + 2x + m - 4| trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là

A.4    B. 3    C.1    D.2

Lời giải:

y = |x² + 2x + m| - 4 = |(x+1)² + m -5|

Ta có [(x+1)² + m - 5] ∈ [m-5;m-1]

Giá trị lớn nhất của hàm số y = |x² + 2x + m - 4| trên đoạn[ -2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất khi

Chọn B.

Bài 62: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x³-3mx²+ 3m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằn g 48 .

A. m= 1 .    B . m = 2    C. m= -2    D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đạo hàm y’ = 3x²- 6mx = 3x( x- 2m)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi :m≠0. (1)

+ Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 0 ; 3m³) ; B( 2m; -m³)

Ta có: (2)

Ta thấy A∈Oy => OA≡Oy => d( B ; OA) = d( B ; Oy) =2|m| (3)

+ Từ (2) và (3) suy ra S= 1/2. OA.d(B ; OA)=3m⁴.

Do đó: S_ΔOAB = 48 ⇔ 3m⁴ = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn (1) ).

Chọn D.

Bài 63: Cho hàm số y= x⁴-2( m+1) x²+ m ( C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số C có ba điểm cực trị A: B; C sao cho OA= BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

A. m = 2 ± 2√2    B. m = 2 + 2√2    C. m = 2 - 2√2    D. m=±1

Lời giải:

Ta có : y’ = 4x³-4( m+ 1) x= 4x( x²- (m+ 1) ).

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay m+1 > 0 suy ra m > - 1 (*).

Khi đó, ta có: y'= 0

Ta có :

Do đó: OA = BC ⇔ m = 2 ± 2√2 (thỏa mãn ).

Vậy m = 2±2√2.

Chọn A.

Bài 64: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y= x³- 3mx² + 4m³ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng x- y=0 .

Lời giải:

+ Đạo hàm : y’ = 3x²- 6mx

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.

+ Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A( 0; 4m³) ; B( 2m; 0) ;

Trung điểm của đoạn AB là I (m; 2m³).

+ Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng x- y= 0 hay y= x là AB vuông góc với đường thẳng y= x và I ∈ (d)

Kết hợp với điều kiện ta có: m = ±√2/2 .

Chọn D.

Bài 65: Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= x³- 3mx² + 3( m²-1) x- m³+ m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

A. -4    B. -5

C. -6.    D. -7

Lời giải:

Ta có y’ = 3x²- 6mx + 3( m²-1).

Hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x² - 2mx + m² - 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt ⇔ Δ = 1 > 0, ∀m

Khi đó, điểm cực đại A( m-1; 2-2m) và điểm cực tiểu B( m+1; -2-2m)

Ta có OA = √2OB ⇔ m² + 6m + 1 = 0

Tổng hai giá trị này là -6.

Chọn C.

Bài 66: Tính tích tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx³- 3mx²+ 3m-3 có hai điểm cực trị A; B sao cho 2AB² - ( OA²+ OB²) = 20 .

A. 1     B. 1/2     C. -17/11     D. 13/ 5

Lời giải:

Ta có: đạo hàm y’ = m( 3x²-6x). Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì m≠ 0.

Với mọi m≠ 0 , ta có y' = 0 .

Goi tọa độ 2 điểm cực trị là A( 0 ; 3m-3) và B( 2 ; -m-3)

Ta có : 2AB² - ( OA²+ OB²) = 20 ⇔ 11m² + 6m - 17 = 0 ( thỏa mãn)

Vậy giá trị m cần tìm là: .

Chọn C.

Bài 67: Cho hàm số y= x³ - 3x². Tìm tất cả các giá trị thực tham số m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị C tạo với đường thẳng x+ my+ 3=0 một góc α biết cosα= 4/5.

A. m= 2 hoặc m = -2/11 .    B. m= -2 hoặc m = -2/11 .

C. m= 2 hoặc m = 2/11 .    D. m=2

Lời giải:

+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số là 2x+ y=0 có VTPT

+ Đường thẳng đã cho x+ my+ 3= 0 có VTPT

Yêu cầu bài toán :

⇔ 25 (m² + 4m + 4) = 5.16(m² + 1) ⇔ 11m² - 20m - 4 = 0

Chọn A.

Bài 68: Có giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x⁴-4( m-1)x²+2m-1 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều. Hỏi số nguyên nào gần với số m nhất?

A: 2     B: 3     C: 4     D: đáp án khác

Lời giải:

Ta có đao hàm y’ = 4x³- 8( m-1) x= 4x( x²- 2( m-1) )

nên hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 1.

Với điều kiện m > 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

Ta có: AB² = AC² = 2( m-1) + 16( m-1) 4; BC²= 8( m-1)

Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì:

AB= AC= BC tương đương AB²= AC² = BC²

Do đó: 2( m-1) + 16( m-1)⁴= 8( m-1)

⇔ 8( m-1)⁴ - 3( m-1) = 0 ⇔ ( m-1)[8( m-1)³ - 3] = 0

So sánh với điều kiện ta có: thỏa mãn.

Chọn A.

Bài 69: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M( 2m³; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= 2x³-3( 2m+ 1) x²+ 6m( m+1) x+1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

A.-1    B.0    C.1    D. 2

Lời giải:

+ Ta có: y’ = 6x²-6( 2m+1) x+ 6m(m+1)

,do đó hàm số luôn có cực đại cực tiểu với mọi m.

+ Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A( m; 2m³+3m²+1 ) và B( m+1; 2m³+3m²)

Suy ra AB = √2 và phương trình đường thẳng AB: x+ y-2m³-3m²-m-1=0.

+ Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.

Ta có: đạt được khi m=0..

Chọn B.

Bài 70: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y= sin x- cosx + 2017 √2 mx đồng biến trên R.

A. m ≥ 2017     B.1    C. m ≥ 1/2017    D. m ≥ -1/2017

Lời giải:

+ Tính đạo hàm y’ = cos x+ sinx+ 2017√2 m.

+ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì

(-sinx-cosx) )²≤[(-1)²+(-1)² ][sin²x+ cos²x]=2

-√2≤(-sinx-cosx)≤√2

Do đó :

F(x) đạt giá trị lớn nhất là

Chọn C.

Bài 71: Cho hàm số với m là tham số thực. Hàm số có đồ thị C và bảng biến thiên sau:

Tìm m sao cho hàm số f(x) đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn hơn -1

A.m > 2    B.     C.m < -5/2     D. m > 5/2

Lời giải:

Xét phương trình f’(x) = x²+(4-m) x+5-2m=0

⇔ x² + 4x + 5 = m(x+2)

Ta có nghiệm của f’ (x)=0 cũng là hoành độ giao điểm của g(x)=m

Khi đó từ bảng biến thiên ta có YCBT khi m > 2

Chọn A

Bài 72: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x≥ 0; y≥1 ; x+ y= 3 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x³+ 2y²+ 3x² + 4xy- 5x lần lượt bằng:

A. 20 và 18 .    B. 20 và 15.    C. 16 và 15 .    D. 16 và 13.

Lời giải:

Ta có y= 3-x≥ 1 nên x≤ 2 do đó : x∈[0;2]

Khi đó P= x³+ 2( 3-x)²+ 3x²+4x( 3-x) -5x = x³+x²-5x+18

Xét hàm số f(x) = x³+x²-5x+18 trên đoạn [0 ; 2] ta có:

f'(x) = 3x² + 2x - 5

F(0) =18; f(1) = 15; f(2) =20

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P lần lượt bằng 20 và 15.

Chọn B.

Bài 73: Cho các số thực x; y thõa mãn x≥0; y≥0 và x+y=1

Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của biểu thức S = (4x²+3y)(4y²+3x)+ 25xy là:

A. M = 25/2; m = 191/16 .    B. M = 12; m = 191/16 .

C. M = 25/2; m = 12 .    D. M = 25/2; m = 0 .

Lời giải:

Do x+ y= 1 nên S = 16x²y² + 12(x+y)(x²-xy+y²)+34xy = 16x²y² + 12[(x+y)² - 3xy] + 34xy, do x + y = 1 = 16x²y² - 2xy + 12

Đặt t= xy . Do x≥ 0 ; y≥0 nên

Xét hàm số f(t) = 16t²- 2t + 12 trên [0 ; 1/4].

Ta có f’ (t) = 32t- 2 ; f’(t) =0 khi t= 1/ 16 .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của S là 25/2 đạt được khi

giá trị nhỏ nhất của S là 191/ 16 đạt được khi

Chọn A.

Bài 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có hai tiệm cận ngang.

A. 8    B. 10

C. 12    D. Vô số

Lời giải:

Điều kiện: mx²+ 1 > 0.

- Nếu m= 0 thì hàm số trở thành y= x+ 1 không có tiệm cận ngang.

- Nếu m < 0 thì hàm số xác định .

Do đó, không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

- Nếu m > 0 thì hàm số xác định với mọi x.

Suy ra đường thẳng y= 1/√m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ .

Suy ra đường thẳng y= -1/√m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → -∞ .

Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.

Bài 75: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng.

A. m > 1    B .m= 1

C. m≤ 1    D.m > 1

Lời giải:

Điều kiện:

-Nếu m > 1 thì không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Nếu m= 1 thì hàm số trở thành

Suy ra đường thẳng x= 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x → 1^- .

không tồn tại.

Do đó, m= 1 thỏa mãn.

- Nếu m < 1 thì

Suy ra đường thẳng x= m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x → m⁺ và x → m^- .

Vậy m ≤ 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Bài 76: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có đúng một tiệm cận đứng.

A.m > 0    B. m < -4    C. m > 0 hoặc m ≤ - 4    D. m < 3

Lời giải:

TH1 : Phương trình: x³ - 3x² - m = 0 có một nghiệm đơn x= -1 và một nghiệm kép.

Phương trình x³- 3x² - m = 0 có nghiệm x= -1 nên ( -1)³ - 3( -1)²-m=0 hay m= -4.

Với m= -4 phương trình trở thành x³ - 3x² + 4 = 0 (thỏa mãn vì x= 2 là nghiệm kép).

TH2: Phương trình x³- 3x²-m=0 có đúng một nghiệm khác – 1 hay x³- 3x² = m có một nghiệm khác -1

Vậy với m > 0 hoặc m≤ - 4 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Bài 77: Cho hàm số có đồ thị C. Gọi M là một điểm bất kì trên C. Tiếp tuyến của C tại M cắt các đường tiệm cận của C tại A và B . Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của C . Tính diện tích của tam giác IAB.

A.2    B . 8    C. 6    D. 4

Lời giải:

Tập xác định D= R\ { 1}.

Đạo hàm .

Đồ thị hàm số C có tiệm cận đứng là x= 1 và tiệm cận ngang y= 2 nên I (1 ;2 ) là giao của 2 đường tiệm cận.

Gọi

Tiếp tuyến ∆ của C tại M có phương trình là :

∆ cắt TCĐ tại và cắt TCN tại B( 2x_o-1 ; 2) .

Ta có

Do đó

Chọn D.

Bài 78: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

A. x= 3 và x= - 2.    B. x= -3    C.x= 3và x= 2.    D. x= 3

Lời giải:

Tập xác định: D= R\ { 2; 3}

Tương tự

Suy ra đường thẳng x= 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Suy ra đường thẳng x= 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn D.

Bài 79: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực của m để hàm số y= ln( x² + 1) –mx+1 đồng biến trên R.

A. m > 1    B. m < 1    C. m≤ -1    D. m≥ -1

Lời giải:

Ta có:

Hàm số y= ln( x²+ 1) – mx+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi y’≥ 0 với mọi x.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: với mọi x khivà chỉ khi m≤ -1.

Chọn C.

Bài 80: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( -1; 0) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số C: y= x³-3x²+ 4 tại ba điểm phân biệt A; B; C và tam giác OBC có diện tích bằng 1?

A:k =2     B: k= -1     C: k= 1     D: Đáp án khác

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k nên có dạng y= k( x+ 1) hay kx- y+k=0 .

Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là:

x³ - 3x² + 4 = kx + k ⇔ (x+1)(x² - 4x + 4 - k) = 0

D cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Khi đó g(x) = 0 khi x=2-√k;x=2+√k. Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là

A( -1; 0) ; B( 2-√k;3k-k√k;C( 2+ √k;3k+k√k).

Tính được . Khi đó

⇔ |k|√k = 1 ⇔ k³ = 1 => k = 1

Vậy k= 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Bài 81: Cho hàm số y=x⁴-(3m+4) x²+ m² có đồ thị là C. Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A: 0     B: 1     C: 2     D: 3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴-(3m+4) x²+ m² = 0 ( 1)

Đặt t= x², phương trình trở thành: t²-(3m+4)t+ m² = 0 ( 2)

C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi ( 1) có bốn nghiệm phân biệt

+ Khi đó phương trình *(2) có hai nghiệm 0 < t₁ < y₂. Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là x₁ = -√(t₂) < x₂ = -√(t₁) < x₃ = √(t₁) < x₂ = √(t₂). Bốn nghiệm x₁; x₂; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng

⇔ x₂ - x₁ = x₃ - x₂ = x₄ - x₃

⇔ -√(t₁) + √(t₂) = 2√(t₁)

⇔ √(t₂) = 3√(t₁)

⇔ t₂ = 9₁ (3)

Theo định lý Viet ta có

Từ (3) và (4) ta suy ra được

Thay (6) vào (5) ta được

Vậy giá trị m cần tìm làm =12; m= -12/ 19

Chọn B.

Bài 82: Cho phương trình x³ - 3x² + 1 - m = 0 (1) . Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁ < 1 < x₂ < x₃ khi

A. m =- 1    B.-1 < m < 3    C. -3 < m < -1    D. m > -3

Lời giải:

Ta có x³ - 3x²+ 1- m=0 là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số

y= x³ - 3x²+ 1 và y= m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

+ Xét y= x³ - 3x²+ 1 .

Đạo hàm y’ = 3x²- 6x

Ta có y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0

Khi x= 1 thì y= -1

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3 < m < -1 .

Chọn C.

Bài 83: Cho đồ thị C: y= 2x³-3x²-1. Gọi d là đường thẳng qua A( 0; -1) có hệ số góc bằng k . Tất cả giá trị k để C cắt d tại ba điểm phân biệt là

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d có dang d: y= kx-1.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d:

2x³-3x²-1 = kx- 1 hay x( 2x²- 3x-k) = 0

+ Để C cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác

Vậy chọn

Chọn B.

Bài 84: Với những giá trị nào của tham số m thì (C) : y= x³- 3( m+ 1) x²+ 2( m² + 4m+1 ) x-4m( m+1 ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

A. 1/2 < m ≠ 1    B.m < 1    C. m > 1/2    D. m≠ 1

Lời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và trục Ox:

x³- 3( m+ 1) x²+ 2( m²+ 4m+1 )= 0

hay ( x- 2) ( x²-( 3m+ 1) x+ 2m²+ 2m) =0

Yêu cầu bài toán

Vậy 1/2 < m và m≠ 1.

Chọn A.

Bài 85: Hỏi phương trình 3x²- 6x+ ln( x+1)³+1=0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2.    B. 1.    C. 3.    D. 4.

Lời giải:

Điều kiện: x > -1

Ta có: 3x²- 6x+ ln( x+1)³+1 = 0 hay 3x²- 6x+ 3ln( x+1)+1=0

f(x) = 3x² - 6x + 3ln( x+1) = 0

Đạo hàm f’ (x) = 0 khi và chỉ khi (2x- 2)(x+ 1) +1=0

Từ đây, ta có bảng biến thiên của f(x):

Nhìn vào bảng biến thiên ta sẽ có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Bài 86: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1/3x³ - mx² +(m²- 1)x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d: y= 5x- 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 0.    B. 6.    C. -6    D. 3.

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm y’ = x²- 2mx+ (m²-1).

Phương trình y’ = 0 có

+ Không mất tính tổng quát, giả sử A(x₁, y₁); B(x₂, y₂)

A, B nằm khác phía khi và chỉ khi x₁. x₂ < 0 hay ( m-1) (m+ 1) < 0

Suy ra -1 < m < 1

A, B cách đều đường thẳng y= 5x-9 suy ra trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng đó.

Khi đó ta có:

Ta có:

Suy ra

Chọn A.

Bài 87: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x⁴ - 2mx² có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A.m > 0    B.m < 1    C. 0 < m < 4    D. 0 < m < 1

Lời giải:

+ Điều kiện để hàm số có 3 cực trị là m > 0

y' = 4x³ - 4mx; y' = 0

+ Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m². (như hình bên )

Ta được S_ΔABC = 1/2 AC.BD = √m . m² .

+ Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì √m m² < 1 hay 0 < m < 1.

Chọn D.

Bài 88: Cho hàm số có đồ thị C và d: y= x+ m. Giá trị của tham số m để d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

A. m=6    B. m= 0   C. m= -3    D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d

+ Khi đó d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Khi đó ta lại có A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂ + m)

Từ đây ta có

Vậy m= 0 hoặc m= 6.

Chọn D.

Bài 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y= - mx cắt đồ thị của hàm số y= x³- 3x²-m+ 2 tại ba điểm phân biệt A; B; C sao cho AB= BC.

A.m < 1   B. m > 2    C.m < 3    D.m > 4

Lời giải:

+ Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

x³- 3x²-m+ 2= -mx hay ( x-1) ( x²-2x+ m-2) =0

Hay x=1; x²-2x+m-2=0

+ Đặt nghiệm x₂ = 1; từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Khi đó phương trình : x²-2x+m-2 = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo hệ thức Viet ta có: x₁+ x₃= 2 = 2x₂ ).

Vậy khi đó ta cần ∆’ > 0( để phương trình có 2 nghiệm phân biệt )

Δ' = 1 - (m - 2) > 0 ⇔ m < 3

Chọn C.

Bài 90: Cho hàm số y= x³- 3x²-m- 1 có đồ thị ( C) . Giá trị của tham số m để đồ thị C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

A.m= 1    B.m= -1    C. m= -3    D.m= 3

Lời giải:

+ Đồ thị C cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x³- 3x²- 1= m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.

+ Suy ra đường thẳng y= m đi qua điểm uốn của đồ thị y= x³- 3x²- 1

(do đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).

+ Mà điểm uốn của đồ thị đã cho là I( 1 ; -3)

( hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y’’= 0 hay y’’= 6x-6=0 do đó x= 1 ; y= -3)

Suy ra m= -3.

Chọn C

Bài 91: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến với x > 0?

A. 4    B. 5    C. 3    D. 2

Lời giải:

+ Hàm số xác định và liên tục với mọi x > 0.

Ta có

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi với mọi x > 0.

Bảng biến thiên

Suy ra maxg( x) = g(1) = -4 và do đó để hàm số đã cho đồng biến t với x > 0 thì m≥ -4

Mà m nguyên âm nên m∈{-4;-3;-2;-1} .

Chọn A.

Bài 92: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |x³ - 3x +m| trên đoạn [ 0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là

A.1    B. 2    C. 3    D. 5

Lời giải:

+ Xét hàm số f(x) = x³-3x+ m là hàm số liên tục trên đoạn [0; 2] .

Ta có đạo hàm f’ (x) = 3x²- 3 và f’ (x) = 0 khi x= 1 ( nhận ) hoặc x= -1( loại)

+ Suy ra GTLN và GTNN của f(x) thuộc { f(0); f(1) ; f(2) }={m;m-2; m+2}.

+ Xét hàm số y = |x³ - 3x +m| trên đoạn [0; 2 ] ta được giá trị lớn nhất của y là max{|m|; |m-2|; |m+2|} = 3

TH1: m= 3 thì max {1;3;5}= 5 ( loại )

TH2: |m-2| = 3 thì m = -1 hoặc m = 5

+ Với m= -1. Ta có max {1; 3}= 3 (nhận).

+ Với m= 5. Ta có max { 3;5;7}= 7 (loại).

TH3: |m+2| = 3 thì m = 1 hoặc m = -5

+ Với m= 1. Ta có max {1; 3} = 3 (nhận).

+ Với m= -5. Ta có max {3;5;7} = 7 (loại).

Do đó m = -1 hoặc m= 1

Vậy tập hợp S có phần tử.

Chọn B.

Bài 93: Cho hàm số y = f(x).Hàm số y= f’(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y= f(2-x) đồng biến trên khoảng:

A. ( 1; 3)    B. x > 3    C. x < -2    D. đáp án khác

Lời giải:

Ta có:( f( 2-x) )’= ( 2-x)’.f’(2-x) = -f’(2-x)

Hàm số đồng biến khi

( f( 2-x) )’ > 0 ⇔ f'( 2-x) < 0

Chọn D.

Bài 94: Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm A( a; 1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến từ C đi qua A. Hỏi trong tập S có bao nhiêu giá trị nguyên

A. 1.    B.0    C.3    D. 4

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k là: y= k( x-a) +1

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) :

⇔ (kx - ka + 1) (x-1) = -x + 2 ( x ≠ 1)

⇔ kx² + (-k-ka+2)x - 3 + ka = 0 ( x ≠ 1) (*)

+ Với k= 0, ta có d: y= 1 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.

Với k≠0 , d và (C) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

⇔ Δ_x = [k(1+a)²-2]² - 4k(-3+ka) = 0

⇔ Δ_x = k²(1-a)² - 4k(a-2) + 4 = 0

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn k tham số a

+ Để qua A( a; 1) vẽ được đúng tiếp tuyến thì phương trình Δ_x = 0 có đúng một nghiệm k≠ 0.

* Xét 1-a= 0 hay a=1, ta có 4k+ k= 0 hạy k= -1 thỏa.

* Có f(0) = 4≠0 nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là .

* Còn lại là trường hợp ∆x= 0 có nghiệm kép khi

Δ'_k = 4((a-2)² - (a-1)²) = 4(2a-3) = 0 ⇔ a = 3/2

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn đầu bài là a= 1 hoặc a= 3/2.

Chọn A.

Bài 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = |3x⁴ - 4x³ -12x² + m| có 7 điểm cực trị?

A.0    B. 4    C. 5    D. 1

Lời giải:

Xét hàm số y= 3⁴ - 4x³ -12x²+m

Có y' = 12x³ 12x² - 24x ,

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì

Vì m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là m∈{1;2;3;4}.

Chọn A.

Bài 96: Cho hàm số: y= x⁴- (2m-1) x²+2m có đồ thị (C) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d: y= 2 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 3 là

A.1    B.2    C.3    D.4

Lời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

x⁴- (2m-1) x²+2m = 2 hay x⁴- (2m-1) x²+2m -2=0

Suy ra x²= 1 hoặc x²= 2m-2 (1)

+ Đường thẳng d cắt C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Bài 97: Cho hàm số y= x³- 3mx²+ 3( m+1)x+1 (1) với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị hàm số (1) và K là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của ( C) tại điểm K song song với đường thẳng d: 3x+ y= 0 là

A. 1    B. 2    C. 3    D. không có giá trị nào của m thỏa mãn

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 6mx+ 3( m+ 1).

Do K thuộc (C) và có hoành độ bằng -1, suy ra K( -1; -6m-3)

Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình

∆: y= ( 9m+ 6) x+ 3m+ 3

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d

=> 3x + y = 0 ⇔ y = -3x

Vậy không tồn tại m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Bài 98: Cho hàm số y= x³- x²+ x= 1 có đồ thị ( C) . Tiếp tuyến tại điểm N( x; y) của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M( -1; -2). Khi đó x+ y=?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M( -1; -2) có hệ số góc k có dạng ∆: y= k( x+ 1) -2 .

+ ∆ là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

+ Thay (2) vào (1) ta được

x³- x²+ x+ 1= ( 3x²- 2x+1) (x+1) -2

Hay ( x+ 1)²(x-1) =0

Suy ra x= -1 ( trùng với M nên loại ) hoặc x= 1

Với x= 1 thì y= 2. Vậy N( 1;2)

Chọn C.

Bài 99: Cho hàm số y= x⁴- 2mx²+m (1) với m là tham số thực. Gọi (C) là đồ thị hàm số (1); d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B( 3/4; 1) đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải:

+ Do A thuộc (C) nên A( 1; 1-m) .

Đạo hàm y’ = 4x3-4mx nên y’ (1) = 4-4m .

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y- 1+ m= y’ (1) (x-1)

Hay (4-4m) x-y-3( 1-m) = 0.

+ Khi đó Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi khi m= 1.

Do đó khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m= 1.

Chọn B.

Bài 100: Cho hàm số có đồ thị là (C) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1: 3x+ 4y-2=0 bằng 2.

A. 2.    B. 3.    C. 4.    D. 0.

Lời giải:

+ Giả sử M( x_o; y_o) ∈( C) suy ra .

+ Ta có

+ Với

+ Với

Ta tìm được 4 điểm M suy ra có 4 tiếp tuyến.

Chọn C.

Bài 101: Cho hàm số có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) . tồn tại điểm M( a; b) với; a; b nguyên dương thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Khi đó b-a= ?

A.0    B. -1    C. 2    D.1

Lời giải:

+ Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x= 1 và TCN là y= 2; giao điểm của hai tiệm cận là I (1; 2) .

Lấy điểm M ( a; b) ∈( C)

+ Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M là

+ Phương trình đường thẳng MI là

+ Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có

Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là M( 2; 3).

Chọn D.

Bài 102: Cho hàm số có đồ thị là (C) , đường thẳng d: y= x+ m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A: B . Gọi k₁; k₂ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C) tại A; B. Tìm m để tổng k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất.

A. -2    B. -1    C. 1    D.2

Lời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

Theo định lí Vi-et ta có x₁ + x₂ = -m; x₁.x₂ = (-m-1)/2

Gọi A( x₁; y₁) ; B( x₂; y₂).

+ Ta có , nên tiếp tuyến của ( C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m= -1.

Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng - 2 khi m= -1.

Chọn B.

Bài 103: Cho hàm số .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ.

A. y= -x+1    B. y= -x    C.y= -x- 1    D.y= -x- 2

Lời giải:

+ Gọi M(a; b) là toạ độ của tiếp điểm

Đạo hàm

+ Do tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm).

Nghĩa là

- Với a= -1; b= 1 phương trình ∆: y- 1= -( x+ 1) hay y= -x ( loại) .

- Với a= -2; b= 0 thì ∆ : y- 0= -( x+ 2) hay y=-x-2 (nhận).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= -x- 2.

Chọn D.

Bài 104: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là x= -1

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y= -2; y= 2 và không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng.

D. tất cả sai

Lời giải:

Ta có > y = 2 là TCN

> y = -2 là TCN

=> đồ thị hàm số có 2TCN là y= 2 và y= -2 .

Chọn B.

Bài 105: Biết đường thẳng y= (3m-1) x+ 6m+3 cắt đồ thị hàm số y= x³-3x²+ 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (1;3/2    B. (0;1)    C. (-1; 0)     D. (3/2;2)

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm là

(3m-1) x+ 6m+ 3 = x³-3x²+ 1 hay x³-3x² – (3m-1) x-6m-2=0 ( *)

Giả sử A( x₁; y₁) ; B( x₂; y2) lần lượt là giao điểm của (C) và (d)

Vì B cách đều hai điểm A và C nên B là trung điểm của AC

Suy ra x₁ + x₃ = 2x₂

Thay x₂ = 1 vào (*), ta có 1³ - 3.1² - (3m-1) - 6m -2 = 0

⇔ -9m-3 = 0 ⇔ m = -1/3

Thử lại, với m = -1/3 => x³ - 3x² + 2x = 0 (TM).

Vậy -1 < m < 0

Chọn C.

Bài 106: Số nguyên nhỏ nhất của tham số để PT có nghiệm là

A. 6    B. 8    C. 7    D. 9

Lời giải:

Điều kiện x≥ 0 .

Dễ thấy x= 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét x > 0 , chia cả 2 vế của phương trình cho x ta được

Đặt , khi đó phương trình ( *) trở thành: t²- (m -1) t+ m+ 2=0

Vì t≥ 2 nên t-1≠0 nên phương trình ( *) ⇔ t² + t + 2 = m(t -1)

Xét hàm số trên có [2; +∞]

Khi đó, để phương trình m =f( t) có nghiệm

Chọn C.

Bài 107: Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dung một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng và hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

A. 18√5    B. 27√5

C. 15√5    D. 12√5

Lời giải:

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)

Suy ra độ dài thanh sào là L = BM + MC

Đặt ∠BHM = x => ∠CMK = 90^o -x , do đó

Yêu cầu bài toán

Ta có

Suy ra . Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là

Chọn C.

Bài 108: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y= x³+ x²+ mx-1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử nguyên của tập hợp (-5;6)∩S

A. 2    B. 5    C. 3    D. 4

Lời giải:

Ta có đạo hàm y’ = 3x²+ 2x+ m.

Hàm số có cực trị khi Δ' = 1 - 3m > 0 ⇔ m < 1/3

Do hàm số có a = 1 > 0 => x_CT > x_CD

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình y’ = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương

Do => m < 0 là giá trị cần tìm.

Vậy (-5;6)∩S = (-5;0)

Mà m nguyên nên chọn -4; -3; -2; -1. Có 4 giá trị thỏa mãn.

Chọn D.

Bài 109: Cho hàm số y = x³ - 3/4x² - 3/2x. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 4|x³| - 3x² - 6|x| = m² - 6m có đúng 3 nghiêm phân biệt.

A. m=0 hoặc m= 6    B.m > 0 hoặc m < 6    C. 0 < m < 3    D. 1 < m < 6

Lời giải:

Phương trình 4|x³| - 3x² - 6|x| = m² - 6m ⇔ |x³| - 3/4|x|² - 3/2|x| = (m²-6m) /4 (*)

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) = x³ - 3/4x² - 3/2x

→ Đồ thị hàm số y = f(|x|) (C)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = (m² -6m)/4

Vậy để (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (m² -6m)/4 = 0 ⇔ m = 0 hoặc m =6

( học sinh tự vẽ đồ thị hàm số (C) ).

Chọn A.

Bài 110: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y= x+ m-1 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

A. m = 2 ± √10    B. 4 ± √3    C. 2 ± √3    D. 4 ± √10

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và d là

Để ( C) cắt ( d) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f( x) =0 có hai nghiệm phân biệt

Gọi A( x₁; y₁) ; B( x₂; y₂) là giao điểm của ( C) và d

Theo hệ thức Viet, ta được

mà AB = 2√3 => (2-m)² - 4(m-2) = 6 ⇔ m = 4 ± √10

chọn D.

Bài 111: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của biểu thức A= a+ b+ c

A.- 2    B. -3    C.- 4    D. -5

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số có TCĐ và TCN là x = 2, y = 1

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ ( -2; 0) nên a = -2

Suy ra A = a+ b+ c = -2+ 1+ (-2) = -3

Chọn B.

Bài 112: Xét phương trình ax³- x²+ bx-1=0 với a, b là các số thực a≠0; a≠ b sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. 15√3    B. 8√2    C. 11√6    D. 12√3

Lời giải:

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃

Khi đó mà

Do

Suy ra

Xét hàm số

Chọn D.

Bài 113: Cho hàm số y= f( x) liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y= f’ (x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f(x)-(x+ 1)² . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải:

Ta có: g'( x) = 2f'( x) - 2(x+1) = 0

Với x < - 3 ta có: f’ (x) < x= 1 suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( -∞; -3)

+ xét hàm số g( x) ; ta cần so sánh g( -3) và g( 3)

Ta có g(x) = 2f(x) –( x+ 1) 2 nên g’ (x) =2f’ (x) -2(x+1)

Phương trình g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = x+1 (Dựa vào đồ thị hàm số y= f’ (x)) .

Bảng xét dấu của g’(x)

Dựa vào bảng xét dấu, ta được

Dựa vào hình vẽ lại có

Do đó g( 1) – g( -3) > g( 1) – g( 3) hay g( 3) > g( -3) .

Suy ra GTNN của hàm số trên đoạn [- 3; 3] là g( -3) .

Chọn B.

Bài 114: Cho hàm số có đồ thị (c) và điểm I ( 1; 2) . Điểm M( a; b) ; a > 0 thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với đường thẳng IM.

Giá trị a+ b bằng

A. 3    B . 4    C. 5    D. 6

Lời giải:

Hệ số góc của đường thẳng IM là:

Mặt khác tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = y'(a)

Giả thiết bài toán

Chọn C.

Bài 115: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y= 3x+ m(sinx+ cosx+m) đồng biến trên R ?

A. 5    B. 4    C. 3    D. 2

Lời giải:

Đạo hàm : y’ =3+ m( cosx- sinx) = 3 + m√2cos (x + π/4)

Hàm số đồng biến trên R khi y’ ≥ 0 với mọi x

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Bài 116: Cho hàm số M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

B. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

C. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận.

D. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Lời giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau nên hệ số góc của chúng bằng nhau g=hay y'(_M) = y/(x_N)

Gọi là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I (1; 1)

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là y= 1và tiệm cận đứng x= 1 nên I (1; 1) là giao điểm của hai đường tiệm cận => C đúng.

TCN y= 1 và tiệm cận đứng x= 1 rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN => B, D đúng.

Chọn A.

Bài 117: Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm liên tục trên R, hàm số y= f’ (x-2) có đồ thị hàm số như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số y= f( x) là :

A. 0    B. 2

C. 1    D. 3

Lời giải:

Ta có: f'(x-2) = f'(x).(x-2) = f'(x)

Do đó; đồ thị hàm số y= f’ (x) có hình dạng tương tự như trên.

Đồ thị hàm số y= f( x-2) có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y= f( x) cũng có 3 điểm cực trị.

Chọn D.

Bài 118: Giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (π/4; π/2) là

Lời giải:

Ta có

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (π/4; π/2)

Mà suy ra

Vậy là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Bài 119: Cho hàm số y= f(x) đạo hàm f’(x) = -x²- 1 Với các số thực dương a, b thỏa mãn a < b. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f( x) trên đoạn [ a; b] bằng

A. f(a)    B. f( √ab)    C. f( b)    D. f( (a+b)/2)

Lời giải:

Hàm số đơn điệu trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất – lớn nhất sẽ đạt tại đầu mút của đoạn

Ta có f’ (x) = -x²-1< 0 với a< x< b ; suy ra hàm số y= f( x) là hàm số nghịch biến trên [ a; b].

Mà a< b nên f(a) > f( b)

Vậy

Chọn C.

Bài 120: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f'(x) = (x+1)⁴(x-2)⁵(x+3)³. Số điểm cực trị của hàm số f(|xƯ) là

A. 5    B. 3    C. 1    D. 2

Lời giải:

Ta có: [f(u)]' = f'(u).u'(x) => [f(|x|)]' = f'(x).|x|' = (|x|+1)⁴(|x|-2)⁵(|x| +3)³.x/|x|

Chú ý:

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị tại x= 2; x= -2 và x= 0

Chọn B.

Bài 121: Biết đồ thị hàm số (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m+ n

A.3    B. 8    C. 9    D.10

Lời giải:

+ Ta có

Do đó đường thẳng y= 2m- n là TCN

+ Mà y= 0 là tiệm cận ngang của ĐTHS nên 0 = 2m- n

+ Vì x= 0 là TCĐ của ĐTHS nên x= 0 là nghiệm của phương trình x²+ mx+n - 6= 0

Vậy

Chọn C.

Bài 122: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực?

A. 3    B. 1    C. 4    D.6

Lời giải:

Xét x ∈ [-π; π] mà

Ta có

Đặt t = sinx + cosx = √sin (x + π/4)

Và 2.sinx.cos x= t²- 1

Khi đó

Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên

Do đó, để f( t) = m²/8 có nghiệm

Mà mm nguyên chọn m= 5; 6;7; 8.

Chọn C.

Bài 123: Xét hàm số f(x) = |x² + ax + b| với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [- 1; 3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a. b

A.2    B. -3    C. -3/2    D.2/3

Lời giải:

Ta có

Từ (1) và (2), kết hợp với |x| + |y| + |z| ≥ |x+y+z|, ta được

4M ≥ |b-a+1| + |b+3a+9| + |-2b-2a-2| ≥ |b-a+1+b+3a+9-2b-2c-2| = 8

=> M≥ 2

Giá trị nhỏ nhất của M là 2 .

Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu

Do đó → ab = 2

Chọn A.

Bài 124: Cho hàm số có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m số sao cho đường thẳngd: y= x+m-1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B thỏa mãn AB = 2√3

A. 2 ± √10    B. 4 ± √10    C. 4 ± √3    D. 2 ± √3

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

⇔ x² + (m-2)x + m-2 = 0

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác - 1

Khi đó d cắt ( C) tại A( x₁; x₁+ m- 1) ; B ( x₂; x₂+ m- 1)

⇔ 2(x₂ - x₁)² = 12 ⇔ x₁² - 2x₁x₂ + x₂² = 6

⇔ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 6

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

(m-2)² - (4m-2) - 6 = 0

Vậy 4 ± √10

Chọn B.

Bài 125: Cho hàm số có đồ thị ( C) . Gọi tập S tất cả các giá trị của tham số thực m để ( C) có đúng hai tiệm cận đứng. Hỏi tập S có bao nhiêu giá trị nguyên

A.0    B. 1    C. 3    D. 4

Lời giải:

ĐKXĐ:

Ta có nên để ( C) có hai tiệm cận đứng thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc [ 0; 4]

Đế phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ' = 9 -2m > 0 ⇔ m < 9/2

Gọi 2 nghiệm phân biệt của (*) là x₁ < x₂ ta có 0≤ x₁ < x₂≤ 4.

Theo định lí Vi-et ta có

Khi đó

Kết hợp nghiệm ta có 4 ≤ m ≤ 9/2

Mà m nguyên nên m= 4

Chọn B.

Bài 126: Cho hàm số y= f( x) có đồ thị như hình vẽ bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số y= 2^{f( x)} – 3^{f( x)}

A. 6    B. 5

C. 4    D. 3

Lời giải:

Xét hàm số g( x)= 2^{f( x)} – 3^{f( x)}

=> g'( x) = f'( x)2^{f( x)}.ln2 - f'( x).3^{f( x)}ln3, ∀ x ∈ R

Ta có

Dựa vào đồ thị hàm số y= f( x) , ta thấy:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (vì hàm số y= f (x) có 3 điểm cực trị).

Phương trình (2) vô nghiệm vì đường thẳng không cắt ĐTHS.

Vậy phương trình g’ (x) =0 có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn D.

Bài 127: Cho là đa thức thỏa mãn . Tính

Lời giải:

Đặt

Vì nên f( x) -20 =0 hay f( x) = 20 nên P =5

Khi đó

Suy ra

Chọn B

Bài 128: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x⁴-2m²x²+ m⁴+ 3 có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Ta có đạo hàm y' = 4x³ - 4m²x = 0 ⇔ x(x²-m²) = 0

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m≠0.

Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị là: A( 0; m⁴+ 3) ; B( m; 3) và C( -m; 3) là ba điểm cực trị.

Vì y_A > y_B = y_C nên yêu cầu bài toán; tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn ( C)

Và suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra OA là đường kính của đường tròn

Mà suy ra (1) ⇔ m.m - 3m⁴ = 0 ⇔ m² = 1/3

Chọn C.

Bài 129: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =x + y.

A. T_min = 2 + 3√2    B. T_min = 3 + 2√3     C. T_min = 1 + √5     D. T_min = 5 + 3√2

Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra

Xét hàm số f( t) = 5^t - 1/3^t + t với t ∈ R có f'( t) = 5'.ln5 + 3^-t.ln3 + 1 > 0 ∀t ∈ R

Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên R mà từ (*) suy ra

f (x+ 2y) =f( xy-1) hay x+ 2y= xy-1

với x > 0 => y > 1

Khi đó

Xét hàm số trên khoảng (1;+∞) có

Tính các giá trị f(1+√3) = 3 + 2√3 và

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 + 2√3 .

Vậy T_min = 3 + 2√3

Chọn B.

Bài 130: Cho hàm số y=f(x)=x⁴+2mx²+m . Tìm m để f(x) > 0 mọi x .

A. m > 0    B.m < 0    C. m≠0    D. m > 1

Lời giải:

Chọn A

y= f(x)=x⁴+2mx²+m > 0 mọi x

⇔ m(2x²+1) > -x⁴, ∀x ∈ R

Xét có

Khi đó : g’(x) =0 khi x=0

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên (*) suy ra m > 0.

Bài 131: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) ?

A. 3.    B. 1.    C. 2.    D. 0.

Lời giải:

Tập xác định D=R\{m}.

Ta có

Hàm số đồng biến trên (1;+∞) khi và chỉ khi g(x)≥0 và (1)

Vì Δ'_g = 2(m+1)² ≥ 0, ∀ m nên (1) tương đương g(x)=0 có hai nghiệm thỏa x₁ < x₂ < 1

Điều kiện tương đương là ⇔ m < 3 - 2√2 ≈ 0,2

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Bài 132: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số α và β sao cho hàm số luôn giảm trên R?

Lời giải:

Điều kiện xác định: β ≥ 2

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 1/2 ≤ sin2 α ≤ 1

Kết luận: π/12 + kπ ≤ α ≤ 5π/12 + kπ, k ∈ Z và β ≥ 2

Chọn B.

Bài 133: Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y=f(x)=2x+a.sinx+b.cosx luôn tăng trên R?

Lời giải:

Tập xác định D=R.

Ta có: y’=2+a.cosx-b.sinx

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

y' ≥ 0, ∀x ⇔ 2 - √(a²+b²) ⇔ a²+b² ≤ 4.

Chọn C.

Bài 134: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= (m-3)x- (2m+1).cos x luôn nghịch biến trên R?

Lời giải:

Chọn A.

Tập xác định:D= R. Ta có:y'= m-3 + (2m+1).sinx

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ R

⇔ (2m+1).sinx ≤ 3 - m, ∀ x ∈ R

Trường hợp 1: m= -1/ 2 ; ta có 0 ≤ 7/2, ∀ x ∈ R .

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Trường hợp 2:m < -1/ 2 ; ta có

Trường hợp 3:m > -1/2 ; ta có:

⇔ 3 - m ≥ 2m + 1 ⇔ m ≤ 2/3

Vậy -4≤m≤2/3.

Bài 135: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số đồng biến trên khoảng (0;π4).

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m ≤ 2    B. m ≤ 0     C. 1 ≤ m ≤ 2    D. m ≥ 2

Lời giải:

Chọn A

Đặt t= tanx, vì x ∈ (0; π/4) => t ∈ (0;1)

Xét hàm số

Tập xác định : D= R \{m}

Ta có

Để hàm số y đồng biến trên khoảng (0; π/4) khi và chỉ khi: f’(t) > 0 với 0 < t < 1

Bài 136: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ln(x²+1) - mx + 1 đồng biến trên khoảng ( -∞; +∞).

A. ( -∞; -1] .    B. ( -∞; -1) .    C. [-1; 1] .    D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

Hàm số y = ln(x²+1) - mx + 1 đồng biến trên khoảng( -∞; +∞). Khi và chỉ khi y’ ≥0 với mọi x.

Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: ⇔ m ≤ -1

Bài 137: Gọi x₁; x₂ là hai điểm cực trị của hàm số y= 4x³+mx²-3x. Tìm các giá trị thực của tham số m để x1+4x2=0

A. m = ±9/2 .    B. m=±1    C.m=0    D.m= ±2

Lời giải:

Ta có y’=12x²+2mx-3.

Do Δ' = m² + 36 > 0, ∀ m ∈ R nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x₁; x₂.

Theo Viet, ta có

Mà x₁+4x₂ = 0

Suy ra

Chọn A.

Bài 138: Cho hàm số y = 2x³ + 3(m-1)x² + 6(m-2)x - 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (-2; 3).

A. m ∈ (-1;3)∪(3; 4) .    B.(1; 3)

C.(3; 4)    D.(-1; 4)

Lời giải:

Ta có y' = 6x² + 6(m-1)x + 6(m-2); y' = 0

Để hàm số có hai cực trị kh y’=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2-m ≠ -1 ⇔ m ≠ 3.

● Nếu -1 < 2-m hay m < 3, ycbt ⇔ -2 < -1 < 2-m < 3

● Nếu 2-m < -1 hay m >3, ycbt ⇔ -2 < 2-m < -1 < 3

Vậy m ∈ (-1;3)∪(3; 4)

Chọn A.

Bài 139: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= x³-3x²+3mx+1 có các điểm cực trị nhỏ hơn 2

A. -1 > m    B.m < 1

C.m > 0    D.0 < m < 1

Lời giải:

Ta có y’= 3x²-6x+3m

Yêu cầu bài toán khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ < 2

Chọn D.

Bài 140: Cho hàm số y=2x³+mx²-12x-13 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

A.m=2    B.m=-1    C.m=1    D.m=0

Lời giải:

Ta có y’= 6x²+2mx-12

Do Δ' = m² + 72 > 0, ∀ m ∈ R nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x₁; x₂ với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình y’=0 .

Theo định lí Viet, ta có x₁+ x₂ = -m/3

Gọi A( x₁; y₁) và B( x₂; y₂) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán ⇔ |x₁| = |x₂| ⇔ x₁ = -x₂ (do x₁ ≠ x₂ )

⇔ x₁ + x₂ = 0 ⇔ -m/3 = 0 ⇔ m = 0

Chọn D.

Bài 141: Cho hàm số y= -x³+3mx²-3m-1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x+8y-74=0.

A.m=1    B.m=- 2    C.m= -1    D.m=1

Lời giải:

Ta có y' = -3x² + 6mx = -3x(x-2m); y'= 0

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi m khác 0.

Khi đó gọi A( 0 ; -3m-1) và B( 2m ; 4m³-3m-1) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm I ( m ; 2m³-3m-1) và

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u− = (8;-1)

Chọn D.

Bài 142: Cho hàm số y=x³+3x²+mx+m-2 với m là tham số thực, có đồ thị là (C) . Tìm tất cả các giá trị của m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

A. m < 2    B. m ≤ 3 .    C.m < 3    D. m ≤ 2 .

Lời giải:

Đạo hàm: y’ = 3x²+6x+m. Ta có Δ'_y' = 9 - 3m

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi Δ'_y' > 0 ⇔ m < 3

Ta có

Gọi x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó

Theo định lí Viet, ta có

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y₁.y₂ < 0

Chọn C.

Bài 143: Cho hàm số y= x³-3x²-mx+2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d ; x+4y-5=0 một góc α = 45^o

A. m= -1/2    B.m= 1/2    C.m=0    D. m= 1

Lời giải:

Ta có y’=3x²-6x-m

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > -3

Ta có

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là

Đường thẳng d: x+4y-5=0 có một VTPT là

Đường thẳng có một VTPT là

Ycbt suy ra:

Suy ra:

Chọn A.

Bài 144: Cho hàm số y= 2x³-3( m+1)x²+ 6mx+ m³ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B thỏa mãn AB= √2.

A.m=0    B.m=0; m= 2.

C.m=1    D.m=2

Lời giải:

Ta có y' = 6x² - 6(m+1)x + 6m, y' = 0 ⇔ x² - (m+1)x + m = 0

Để hàm số có hai điểm cực trị khi m khác -1

Tọa độ các điểm cực trị là A( 1; m³+ 3m-1) và B( m; 3m²).

Suy ra AB² = (m-1)² + (m³ - 3m² + 3m - 1)² = (m-1)² + (m-1)⁶

Ycbt ⇔ AB² = 2 ⇔ (m-1)² + (m-1)⁶ - 2 = 0

⇔ [(m-1)²]³ - 1 = 0

Chọn B.

Bài 145: Cho hàm số y = x³- 3mx²+4m²-2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B sao cho I( 1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

A. 0    B.-1.    C.1.    D. 2

Lời giải:

Ta có y'= 3x² - 6mx = 3x (x-2m); y' = 0

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi m khác 0.

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A( 0 ; 4m²- 2) và B( 2m; 4m²- 4m³-2).

Do I( 1; 0) là trung điểm của AB nên

⇔ m = 1: thỏa mãn.

Chọn C.

Bài 146: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x³-3mx²+2 có hai điểm cực trị A: B sao cho A: B và M( 1; -2) thẳng hàng.

A.m=0    B. m=√2.    C.m=-√2 .    D.Đáp án khác

Lời giải:

Ta có y' = 3x² - 6mx = 3x(x-2m); y' = 0

Hàm số có hai điểm cực trị khi y’= 0 có hai nghiệm phân biệt suy ra 0≠2m hay m≠0

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A( 0; 2) và B( 2m; 2-4m³).

Suy ra

Theo giả thiết A; B và M thẳng hàng

Chọn D.

Bài 147: Cho hàm số y=x⁴-2( m²-m+1)x²+m-1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

A.m= -1/2    B.m= 1/2    C.m=2    D. m=1

Lời giải:

Ta có y' = 4x³ - 4(m² - m + 1)x = 4x[x² - (m²-m+1)];

Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là

Khi đó AB² = 4(m² - m + 1)

Dấu "=" xảy ra khi m=1/2.

Chọn B.

Bài 148: Cho hàm số y=x⁴-2mx²+2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A; B; C thỏa mãn OA.OB.OC=12?

A.2    B.1    C.0    D.4

Lời giải:

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi ab < 0 hay 1.( -2m) < 0

Suy ra m > 0

Khi dó y' = 4x³ - 4mx = 4x(x² -m); y' = 0

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;2); B(√m; -m²+2), C(-√m; -m² +2)

Ycbt OA.OB.OC = 12 ⇔ 2[m + (-m² + 2)² ] = 12

Giải ra ta được m=2; có một giá trị nguyên.

Chọn B.

Bài 149: Cho với a > 1; b > 1 và P = log_a²b + 16log_ba . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.

A.m=1.    B. m = 1/2 .    C.m=4.    D.m=2.

Lời giải:

Ta có

=> log_ab = 3m-1; log_ba = 1/(3m-1)

Do đó P = log_a²b + 16log_ba = (3m-1)² + 16/(3m-1)

Xét hàm số

Khi đó f'(m)= 0 khi 3m-1=2 hay m=1

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 tại m=1.

Chọn A.

Bài 150: Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

A. 19    B.13    C. 14    D.15

Lời giải:

Ta có:

Đặt t= log_ba-1 > log_bb -1 = 0

khi đó:

Ta có:

f’(t) =0 khi 3t³-8( t+1) =0 hay t= 2.

Suy ra P_min = f(2) =15

Chọn D.

Bài 151: Cho x; y > 0 thỏa mãn log 2x+ log₂y=log₄(x+y) Tìm x; y để biểu thức P= x²+y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Theo đầu bài ta có: log₂x + log₂y = log₄(x+y) hay 2 log₂(xy) =log₂(x+y)

Suy ra x+y=(xy)²

Đặt u= x+ y; v= xy ta có điều kiện u²-4v≥0; u > 0; v > 0 .

Mà u = v² => v⁴ - 4v ≥ 0 ⇔ v³ - 4 ≥ 0 ⇔

Ta có P = v⁴ - 2v = g(v)

g'(v) = 4v³ - 2 > 0 ∀ nên

Chọn A.

Bài 152: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số ,m sao cho đồ thị của hàm số có hai tiệm cận ngang.

A.m < 0    B.m > 0

C.m= 0    D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Điều kiện:mx²+1 > 0.

- Nếu m=0 thì hàm số trở thành y=x+1 không có tiệm cận ngang.

- Nếu m < 0 thì hàm số xác định

Do đó, không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

- Nếu m > 0 hì hàm số xác định với mọi x.

Suy ra đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ .

Suy ra đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → -∞ .

Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Bài 153: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có đúng một tiệm cận đứng.

Lời giải:

TH1 : Phương trình x³-3x²-m=0 có một nghiệm đơn x= -1 và một nghiệm kép.

Phương trình x³-3x²-m=0 có nghiệm x=-1 nên (-1)³-3(-1)²-m=0 hay m = -4.

Với m= -4 phương trình trở thành x³ - 3x² + 4 = 0

(thỏa mãn vì x=2 là nghiệm kép).

TH2: Phương trình x³-3x²-m= 0 có đúng một nghiệm khác -1 hay x³-3x²=m có một nghiệm khác -1

Vậy với thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Bài 154: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi M là một điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của (C). Tính diện tích của tam giác IAB.

A.2    B.12    C.4    D.6

Lời giải:

Tập xác định D= R\{1}.

Đạo hàm

(C) có tiệm cận đứng x=1 (d₁) và tiệm cận ngang y=2 (d₂) nên I(1 ;2).

Gọi

Tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có phương trình

∆ cắt d1 tại và cắt d₂ tại B(2x_o-1 ; 2).

Ta có

Do đó

Chọn C.

Bài 155: Cho hàm số có đồ thị là (C) , đường thẳng d: y=x+m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A: B. Gọi k₁; k₂ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A; B . Tìm m để tổng k₁+k₂ đạt giá trị lớn nhất.

A. m=-1.    B.m=-2 .    C. m=3 .    D. m=-5.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

Theo định lí Viet ta có x₁+x₂=-m; x₁.x₂=(-m-1)/2.

Giả sử A( x₁; y₁); B( x₂; y₂).

Ta có , nên tiếp tuyến của (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là

Vậy

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ kjhi m=-1.

Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng -2 khi m= -1.

Chọn A.

Bài 156: Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi điểm M(x_o; y_o) với x_o > -1 là điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: 4x+y=0. Hỏi giá trị của x_o+2y_o bằng bao nhiêu?

A . -7/2    B. 7/2    C. 2    D.1

Lời giải:

Gọi với x_o≠-1 là điểm cần tìm.

Gọi ∆ tiếp tuyến của (C) tại M ta có phương trình.

Gọi A = Δ ∩Ox và B = Δ ∩ Oy

Khi đó ∆ tạo với hai trục tọa độ tam giác OAB có trọng tâm là

Do G thuộc đường thẳng 4x+y=0 nên

(vì A; B không trùng O nên x_o² - 2x_o - 1 ≠ 0 )

Vì x_o > -1 nên chỉ chọn x_o = 1/2 = > M(-1/2;-3/2) => x_o + 2y_o = -7/2

Chọn A.

Bài 157: Cho hàm số có đồ thị là (C) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1: 3x+4y-2=0 bằng 2.

A. 2.    B. 3.    C. 4.    D. 0.

Lời giải:

Giả sử M(x_o; y_o)∈C

Ta có

Với

Với

Suy ra có 4 tiếp tuyến.

Chọn C.

Bài 158: Cho hàm số có đồ thị (C) .Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M(x_o; y_o) (với x_o > 0) thuộc đồ thị (C). Để khoảng cách từ tâm đối xứng I của đồ thị (C) đến tiếp tuyến ∆ là lớn nhất thì tung độ của điểm M gần giá trị nào nhất?

A. 7π/2 .    B. 3π/2 .    C. 5π/2 .    D. π/2 .

Lời giải:

+ Hàm số đã cho có TCĐ là x=1 và TCN là y= 1 nên tâm đối xứng- là giao điểm của 2 đường tiệm cận có tọa độ là I (1; 1)

+ Ta có

Gọi

+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+

+ Dấu "="" xảy ra khi và chỉ khi

Tung độ này gần với giá trị π/2 nhất trong các đáp án.

Chọn D.

Bài 159: Cho hàm số có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến ∆ bằng?

A. √3 .    B. 2√6 .    C. 2√3 .    D. √6 .

Lời giải:

+ Đồ thi hàm số đã cho co TCĐ là : x= -1 và TCN là y= 1; tâm đối xứng- giao của 2 đườg tiệm cận có tọa độ là I ( -1; 1)

Gọi

+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là

+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B( 2x_o+1; 1).

Ta có , IB = 2|x_o + 1| => IA.IB = 12

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là S=p.r, suy ra

Suy ra r_max = 2√3 - √6 ⇔ IA = IB ⇔ |x_o - 1|² = 3

Chọn D.

Bài 160: Cho hàm số có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến của (C) cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến ∆ gần giá trị nào nhất?

A. 6.    B. 4.    C. 3.    D. 5.

Lời giải:

+ Gọi

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là

+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B( 2x_o-1; 2).

Ta có S_ΔIAB = 1/2IA.IB =

Tam giác IAB vuông tại I có diện tích không đổi nên chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi

+ Với x_o =1+√3 thì phương trình tiếp tuyến là Δ: y = -x + 3 + 2√3. Suy ra

+ Vớix_o=1-√3 thì phương trình tiếp tuyến là Δ: y = -x + 3 - 2√3 . Suy ra

Vậy khoảng cách lớn nhất là gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.

Chọn D.

Bài 161: Cho hàm số có đồ thị (C) . Biết khoảng cách từ I(-1; 2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất?

A.3e    B.2e    C.e    D.4e

Lời giải:

+ Ta có

+ Gọi

Phương trình tiếp tuyến tại M là

+

+ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án.

Chọn C.

Bài 162: Cho hàm số có đồ thị (C) . Biết tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A; B sao cho AB ngắn nhất. Khi đó, độ dài lớn nhất của vectơ OM gần giá trị nào nhất ?

A. 7.    B. 5.    C. 6.    D. 4.

Lời giải:

+ Gọi

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là

+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B( 2x_o-2; 2) .

+ Ta có

Dấu "=" xảy ra khi

Chọn D.

Bài 163: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) : biết d cách đều điểm A( 2; 4) và B( -4; -2).

A. y = 1/4x + 1/4 , y= x+3; y= x+1    B. y = 1/4x + 5/2 , y=x+5; y= x+4

C. y = 1/4x + 5/4 , y= x+4; y=x+1    D. y = 1/4x + 5/4 , y= x+ 5, y= x+1

Lời giải:

Gọi M( x_o; y_o) , x_o ≠ -1 là tọa độ tiếp điểm của d và (C).

Khi đó d có hệ số góc và có phương trình là :

Vì d cách đều A: B nên d đi qua trung điểm I( -1; 1) của AB hoặc cùng phương với AB .

TH1: d đi qua trung điểm I( -1; 1) , thì ta luôn có:

, phương trình này có nghiệm x_o= 1

Với x_o= 1 ta có phương trình tiếp tuyến d : y = 1/4x + 5/4 .

TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó ⇔ x_o = -2 hoặc x_o =0

Với x_o = -2 ta có phương trình tiếp tuyến d: y= x+ 5.

Với x_o = 0 ta có phương trình tiếp tuyến d: y=x+ 1.

Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = 1/4x + 5/4 , y= x+ 5, y=x+ 1

Chọn D

Bài 164: Cho hàm số y= 3x-4x³ có đồ thị (C). Từ điểm M(1;3) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ?

A. 0.    B. 3.    C. 2.    D. 1.

Lời giải:

+ Đường thẳng đi qua M(1;3) có hệ số góc k có dạng d: y=k(x-1)+3 .

+ d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Thay (2) vào (1) ta được

3x-4x³ = (3-12x²)(x-1) + 3 ⇔ 8x³ - 12x² = 0

Vậy có 2 tiếp tuyến.

Chọn C.

Bài 165: Qua điểm A( 0;2 ) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴ - 2x² + 2

A.2    B.3    C.0    D.1

Lời giải:

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.

Vì A∈d nên phương trình của d có dạng: y= kx+2

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ

Thay (2) vào (1) ta suy ra được

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Chọn B.

Bài 166: Cho hàm số y= x³-6x²+9x-1 có đồ thị là (C) . Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x=2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C) :

A.2    B. 1    C.3    D.0

Lời giải:

+ Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x= 2 có dạng:

∆: y= k( x-2) hay y= kx-2k

+ ∆ là tiếp tuyến của (C)

+ Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến.

+ Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x=2có dạng y= a song song với trục Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.

Chọn B

Bài 167: Tìm m để từ điểm M( 1; 2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y= x³-2x²+(m-1) x+2m.

A. m= 10/81; m=-3    B.m=100/81; m=3    C.m=10/81; m=3    D.m=100/ 81; m=-3

Lời giải:

Gọi N( x_o; y_o) ∈( C). Phương trình tiếp tuyến d tại N là:

y = (3_o² - 4x_o + m - 1) (x-x_o) + x_o³ - 2x_o² + (m-1)x_o + 2m

M ≠ (d) ⇔ 2x_o³ + 5x_o² - 4x_o = 3 - 3m (*)

Dễ thấy (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y= 3-3m và f(x_o) = 2x_o³ + 5_o² - 4x_o

Xét hàm số f(x_o) = 2x_o³ + 5x_o² - 4x_o có f'(x_o) = 6x_o² + 10x_o - 4

f'(x_o) = 0 ⇔ x_o = -2 hoặc x_o = 1/3 .

Lập bảng biến thiên, suy ra m= 100/ 81; m=-3

Chọn D.

Bài 168: Cho hàm số có đồ thị C và điểm A( a; 1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến từ C đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng

A. 1 .    B. 3/2 .    C. 5/2 .    D. 1/2 .

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k là : y= k ( x-a) + 1

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và C :

⇔ (kx-ka+1) (x-1) = -x +2 (x≠ 1)

Hay kx²+ (-k-ka+2) x-3+ka=0 ( *)

+ Với k= 0 , ta có d: y= 1 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.

+ Với k≠0, d và C tiếp xúc nhau khi (1) có nghiệm kép

⇔ Δ_x = [k(1+a)-2]² - 4(k-3+ka) = 0

⇔ Δ_x = k²(1-a)² - 4(ka-2) + 4 = 0

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn k tham số a

+ Để qua A( a; 1)vẽ được đúng tiếp tuyến thì phương trình ∆ =0 có đúng một nghiệm k≠0.

*Xét 1-a= 0 hay a=1, ta có 4k+4= 0 hay k= -1 thỏa mãn

*Có f(0)=4 nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là 0.

*Còn lại là trường hợp Δ_x có nghiệm kép khi

Δ'_k = 4((a-2)² - (a-1)²) = 4(2a-3) = 0 ⇔ a = 3/2

Tổng là 1+ 3/2=5/2.

Chọn C.

Bài 169: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: x²-3x+2≤0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx²+(m+1) x+m+1≥0

A. m ≤ -1 .    B. m ≤ -4/7 .    C. m ≥ -4/7 .    D. m ≥ -1 .

Lời giải:

Bất phương trình x²-3x+2≤0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Bất phương trình mx²+(m+1) x+m+1≥0

⇔ m(x² + x + 1) ≥ -x-2

Xét hàm số với 1≤x≤2 .

Có

Yêu cầu bài toán

⇔ m ≥ -4/7

Chọn C.

Bài 170: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm thực?

A. m ≥ -7/2 .    B. m ≥ 3/2 .    C. m ≥ 9/2 .    D. mọi m

Lời giải:

Điều kiện: x ≥ -1/2

Phương trình

Vì x=0 không là nghiệm nên (*)

Xét

Ta có

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m ≥ 9/2 .

Chọn C

Bài 171: Bất phương trình có tập nghiệm (a; b]. Hỏi hiệu b-a có giá trị là bao nhiêu?

A. 1.    B. 2.    C. 3.    D.-1

Lời giải:

Điều kiện: 1≤ x ≤ 3

bpt

Xét với t≥0.

Có

Do đó hàm số đồng biến trên [0; +∞] .

Từ (1) suy ra f(x-1) > f(3-x) hay x-1 > 3-x

Suy ra : x > 2

So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S= (2; 3]

Do đó; a=2; b=3 và b-a=1

Chọn A.

Bài 172: Phương trình x³ + x(x+1) = m (x²+1)² có nghiệm thực khi và chỉ khi:

A. -6 ≤ m ≤ -3/2.    B. -1 ≤ m ≤ 3.    C. m ≥ 3 .    D. -1/4 ≤ m ≤ -3/4

Lời giải:

Ta có x³ + x(x+1) = m (x²+1)²

Xét hàm số xác định trên R.

y' = 0 ⇔ (-x⁴+1) (x² + 2x + 1) = 0

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số

⇔ -1/4 ≤ m ≤ -3/4

Chọn D.

Bài 173: Cho hàm số y= f( x) ) liên tục trên R. Hàm số y= f’ (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu cực trị?

A. 1    B. 2

C. 3    D. 4

Lời giải:

Ta có y’ = g’ (x) = f’(x) -2018/2017.

Suy ra đồ thị của hàm số g’(x) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y= f’(x) theo phương Oy xuống dưới 2018/2017 đơn vị.

Ta có 1 < 2018/2017 < 2 và dựa vào đồ thị của hàm số y= f’ (x), ta suy ra đồ thị của hàm số g’ (x) cắt trục hoành tại 4 điểm.

Chọn D.

Bài 174: Cho hàm số y= f(x) . Biết f(x) có đạo hàm f’(x) và hàm số y= f’(x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) = f(x+1). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số g(x) có hai điểm cực trị.

B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; 3).

C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4) .

D. Hàm số g(x) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

g'(x) = f'(x+1) = 0

g'(x) = f'(x-1) > 0

Chọn C.

Bài 175: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R thoả f(2) = f(-2) = 0 và đồ thị của hàm số y= f’ (x) có dạng như hình bên. Hàm số y= (f(x))² nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. (-1;3/2)    B. (-1;1)    C. (-2;-1)    D. (1;2)

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: f’(x) = 0 khi và chỉ khi x= 1; x=±2

Ta có bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) < 0 với mọi x≠ ± 2

Xét hàm số y= (f(x))² có đạo hàm y’ = 2f(x). f’ (x)

Bảng xét dấu

Chọn D.

Bài 176: Cho hàm số y= f( x) và đồ thị hình bên là đồ thị của hàm y= f’(x) . Hỏi đồ thị của hàm số g(x)= |2f(x)- (x-1)²| có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 6.    B. 7.    C. 8.    D. 9.

Lời giải:

Đặt h(x) = 2f(x) – ( x-1)²

Suy ra đạo hàm: h’( x) = 2f’(x) -2( x-1).

Ta vẽ thêm đường thẳng y= x-1.

Ta có h’ (x) =0 khi f’(x) =x-1

Suy ra x=0; x=1; x=2; x=3

Theo đồ thị h’(x) > 0 khi f’(x) > x-1

Ta có :

Đồ thị hàm số g( x) có nhiều điểm cực trị nhất khi h( x) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất.

Vậy đồ thị hàm số h( x) cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm, suy ra đồ thị hàm số g(x) có tối đa 7 điểm cực trị.

Chọn B.

Bài 177: Cho hàm số y= f(x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -9 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số y= f’ ( x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?

A. 2.    B. 27.    C. 29.    D. 35.

Lời giải:

Ta có đạo hàm : f’(x) = 3ax² + 2bx+ c.

Dựa vào đồ thị hàm số y= f’ ( x) ta thấy đồ thị hàm số y= f’ (x) đi qua 3 điểm ( -1; 0) ; (3; 0) ; (1; -4)

Thay tọa độ 3 điểm này vào hàm f’ ta tìm được: a= 1/3; b= -1; c= -3.

Suy ra: f’ (x) = x²-2x-3 và f(x) = 1/3.x³-x²-3x+d.

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -9 tại điểm có hoành độ dương nên ta có:

F’(x) =0 khi và chỉ khi x=3 ( x= -1 bị loại vì âm)

Như vậy (C) đi qua điểm (3; -9) ta tìm được d=0.

Vậy hàm số đề bài cho là f(x) = 1/3.³-x²-3x.

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:

Chọn C.

Bài 178: Cho hàm số y= f(x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y= f’(x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm hàm số đã cho ?

A. y =x³-3x+2.     B. y =x³+3x+2.    C y= x³-2x+2.    D. y = x³-3x-1.

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm : f’(x) = 3ax²+ 2bx+ c.

Dựa vào đồ thị hàm số y= f’( x), ta thấy đồ thị hàm số y= f’(x) là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b=0

Đồ thị hàm số y= f’( x) đi qua 2 điểm (1;0) và (0; -3) thay vào f’(x) ; ta tìm được: a=1 và c= -3.

Suy ra: f’(x) = 3x²-3b và f(x) = x³-3x+d.

+ Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm nên ta có:

f’(x) =0 khi và chỉ khi x= -1;x= 1( loại)

Như vậy (C) đi qua điểm (-1; 4) ta tìm được d= 2

Khi đó; f( x) = x³-3x+2.

Chọn A.

Bài 179: Cho hàm số y=f( x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị hàm số y= f’( x) cho bởi hình vẽ bên. Tính f( 3) –f( 1) ?

A.24.    B. 28.    C. 26.    D. 21.

Lời giải:

Ta có đạo hàm : f’ (x) = 3ax²+ 2bx+ c.

Dựa vào đồ thị hàm số y= f’(x) ; ta thấy đồ thị hàm số y= f’(x) là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b= 0

+ Đồ thị hàm số y= f’(x) đi qua 2 điểm (1; 5) và (0; 2) ta tìm được: a=1 và c=2.

Suy ra: f’(x) = 3x² + 2 và f( x) = x³+ 2x+ d

+ Do đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên 0 = 0 + 0 + d

Suy ra: d= 0.

Khi đó ta có: f(x) =x³+ 2x và f( 3) – f(2) =21

Chọn D.

Bài 180: Cho hàm số y= f(x) = ax⁴+ bx² + c ( a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = |f'(x)| như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số y= f’(x) đạt cực tiểu tại điểm (√3/3; -8√3/9) . Đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?

A. 7/15    B. 8/15    C. 14/15    D. 16/15

Lời giải:

+ Từ đồ thị của hàm số y = |f'(x)|và a > 0 ta dễ dàng có được đồ thị hàm số y= f’(x) như sau:

Ta có : f’(x) = 4ax³+ 2bx

Đồ thị hàm số y= f’(x) đi qua (1;0); (√3/3; -8√3/9) ta tìm được a=1 và b= -2

Suy ra hàm số đã cho có dạng: f(x) = x⁴-2x²+d và f’(x) = 4x³-4x.

+ Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên f’(x) = 0 khi x=0; x=1; x=- 1.

Do (C) đối xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm (1; 0) và (-1; 0).

Do đó: f(0) =1 suy ra 1= 0-2.0+ d nên d= 1

Vậy hàm số cần tìm là: y =x⁴-2x²+1

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành:

⁴-2x²+1 = 0 nên x=± 1

Chọn D.

Bài 181: Cho hàm số , đồ thị hàm số y= f’(x) như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số y= f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành ?

Lời giải:

+ Ta có . Từ đồ thị hàm số y= f’(x) ta thấy:

Đồ thị hàm số y= f’(x) có tiệm cận đứng x=1 nên –d/c= 1 hay c= -d

Đồ thị hàm số y= f’(x) đi qua điểm (2;2)

Đồ thị hàm số y= f’(x) đi qua điểm (0;2)

Đồ thị hàm số y=f(x) đi qua điểm (0;3) nên b/d= 3 hay b= 3d

Giải hệ gồm 4 pt này ta được a=c= -d và b= 3d .

Ta chọn a=c= 1 ; b= -3 ; d= -1

Chọn D.

Bài 182: Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y= x/|x-1| ?

Lời giải:

Ta có

Do đó đồ thị hàm số y= x/|x-1| được suy từ đồ thị hàm số y = x/(x-1) bằng cách:

● Giữ nguyên phần đồ thị hàm số phía bên phải đường thẳng x=1

● Phần đồ thị hàm số y= x/(x-1) phía bên trái đường thẳng x = 1 thì lấy đối xứng qua trục hoành.

Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số y= x/|x-1| .

Chọn B.

Bài 183: Hàm số y= 2x³-9x²+ 12x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2|x|³-9x²+12|x|+m = 0 có sáu nghiệm phân biệt.

A. m < - 5    B. -5 < m < - 4    C. 4 < m < 5    D.m > -4

Lời giải:

+ Trước tiên từ đồ thị hàm số y= 2x³- 9x²+12x, ta suy ra đồ thị hàm số y=2|x|³-9x²+12|x| như hình dưới đây:

+ Phương trình 2|x|³- 9x²+12|x|+m = 0 tương đương

2|x|³- 9x²+12|x|= -m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = 2|x|³- 9x²+12|x| và đường thẳng y= -m

+ Dựa vào đồ thị hàm số y =2|x|³- 9x²+12|x|, yêu cầu bài toán trở thành:

4 < -m < 5 hay -5 < m < -4.

Chọn B.

Bài 184: Cho hàm số y= f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình |f(x)|=m có đúng hai nghiệm phân biệt.

A.0 < m < 1 .    B. m > 5.    C.m= 1; m= 5    D.0 < m < 1; m > 5

Lời giải:

+ Ta có

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số ( C) từ đồ thị hàm số y= |f(x)|như sau:

- Giữ nguyên đồ thị y= f (x) phía trên trục hoành.

- Lấy đối xứng phần đồ thị y= f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y= |f(x)| như hình vẽ.

Phương trình |f(x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= |f(x)| và đường thẳng y= m (cùng phương với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt

Chọn D.

Bài 185: Cho hàm số y= f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2|f(x)|-m=0 có đúng bốn nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 8.    B.m > 4.    C.m < 0 ; m > 8    D. -2 < m < 4

Lời giải:

+ Trước tiên từ đồ thị hàm số y= f( x), ta suy ra đồ thị hàm số y= |f(x)| như hình dưới đây:

Phương trình 2|f(x)|-m=0 hay |f(x)|= m/2 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= |f(x)| và đường thẳng y= m/2

Dựa vào đồ thị hàm số y= |f(x)|, ta có ycbt trở thành: 0 < m/2 < 4 hay 0 < m < 8

Chọn A.

Bài 186: Cho hàm số y= f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình f(|x-2|)=-1/2 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2 .    B. 0 .    C. 6 .    D. 4

Lời giải:

+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y= f(x-2) .

Tiếp theo giữ phần đồ thị phía bên phải đường thẳng x= 2, xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x= 2.

Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ lại ở trên qua đường thẳng x= 2. Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số y= f(|x-2|) (hĩnh vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị hàm số y= f(|x-2|), ta thấy đường thẳng y= -1/2 cắt đồ thị hàm số y= f(|x-2|) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f(|x-2|)=-1/2 có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Bài 187: Cho hàm số y= f(x)= ax³+ bx²+ cx+ d có bảng biến thiên như sau:

Khi đó |f(x)|=m có bốn nghiệm phân biệt x₁ < x₂ < x₃ < 1/2 < x₄ khi và chỉ khi

A. 1/2 < m < 1    B. 0 < m    C.m > 1    D.m < 1/2

Lời giải:

Ta có , suy ra hàm số đã cho là : y= 2x³-3x²+ 1.

Ta thấy:

Bảng biến thiên của hàm số y=|f(x)| như sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình |f(x)|=m có bốn nghiệm phân biệt x₁ < x₂ < x₃ < 1/2 < x₄ khi và chỉ khi 1/2 < m < 1.

Chọn A.

Bài 188: Cho hàm số f(x) = x³-3x²+ 2 có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề phương trình |x|³-3x²+2=m có nhiều nghiệm thực nhất

A.m > -2.    B.m > 0.

C.-2 < m < 2.   D.m < 2

Lời giải:

+ Ta có hàm số g(x)= |x|³-3x²+2 là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.

+ Khi x≥ 0 ; g(x) = x³-3x²+ 2

Do đó; đồ thị hàm số g(x)= |x|³-3x²+2 có dạng như hình vẽ.

+ Dựa vào đồ thị suy ra phương trình |x|³-3x²+2=m có nhiều nghiệm thực nhất khi và chỉ khi -2 < m < 2.

Chọn C.

Bài 189: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y= x³-3x-1. Tất cả các giá trị thực của để phương trình |x³3-3x-1| = m có 3 nghiệm đôi một khác nhau là

A.m= 1    B.m > 1.    C.3 < m.    D.m= 0 hoặc m= 3

Lời giải:

+ Cách vẽ đồ thị hàm số y= |x³-3x-1| từ đồ thị hàm số y= x³-3x-1 (C) .

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành và bỏ phần đồ thị phía dưới trụ hoành.

+ Hợp hai phần đồ thị trên ta được đồ thị hàm số y= |x³-3x-1| (như hình vẽ).

+ Để phương trình |x³-3x-1| = m có 3 nghiệm đôi một khác nhau thì đường thẳng y= m cắt đồ thị hàm số y= |x³-3x-1| tại 3 điểm phân biệt

Chọn D.

Bài 190: Tìm tất cả các giá trị thực k đề phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.

A. k > 6     B. 1 < k < 2

C. -2 < k < 6    D. k ∈ (-2;-3/4) ∪ (19/4;6)

Lời giải:

+ Đặt f(x)= -2x³-3/2 x²+3x+1/2

+ Đạo hàm f’(x) = -6x²-3x+ 3 và f’(x) = 0 khi x= -1 hoặc x= 1/2

BBT

+ Suy ra đồ thị của hàm trị tuyệt đối y= 3|-2x³-3/2 x²+3x+1/2| bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox

Vậy để PT có đúng 4 nghiệm phân biệt ⇔ 11/8 < |k/2-1| < 2 ⇔ 121/64 < k²/4 - k + 1 < 4

Chọn D

Bài 191: Cho hàm số với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] bằng – 2.

A. m= 1    B. m= -2     C. m= -1    D. m= -1 hoặc m= 2

Lời giải:

Đạo hàm

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0; 1] nên min f(x) = f(0) = -m²+m

Theo bài ta có:

-m²+ m= -2 nên m= -1 hoặc m= 2.

Chọn D.

Bài 192: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y= |x²-2x+m| trên đoạn [-1; 2] bằng 5.

A. -4    B. 2     C. 0     D . -2

Lời giải:

+ Xét hàm số f(x) = x²- 2x trên đoạn [ -1; 2]

+ Ta có đạo hàm f’(x) = 2( x-1) và f’(x) =0 khi x= 1 .

Vậy:

TH1. Với , ta có ⇔ m = -4

TH2. Với , ta được ⇔ m = 2

TH3. Với , ta được (vô nghiệm).

Chọn D.

Bài 193: Cho hàm số Với tham số m bằng bao nhiêu thì thỏa mãn

A .m=0    B.m= 2    C.m= 4    D.m= 5

Lời giải:

+ Đạo hàm

+ Suy ra hàm số f(x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1; 2] với mọi m≠ 1.

+ Khi đó ta có :

Chọn D.

Bài 194: Cho hàm số với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m> 1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [ 0; 4] nhỏ hơn 3

A.1 < m < 3     B. m ∈ (1;3√5-4)    C. m (∈ 1;√5)    D.1 < m≤ 4

Lời giải:

+ Đạo hàm

+ Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

+ Vậy ta cần có

Chọn C.

Bài 195: Cho hàm số y= x³- 3x+ 1 . Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị m > 0 , để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D= [m+ 1; m+ 2] luôn bé hơn 3 là:

A. (0; 1)     B ( 1/2; 1)     C. (2; 3)     D. (0; 2)

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm : y= 3x²- 3 và y’ =0 khi và chỉ khi x= 1 hoặc x= -1 .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; + ∞) .

+ Trên D= [m+1; m+ 2], với m > 0 , ta có :

Ycbt min y < 3 hay m³+ 3m²-4 < 0

Suy ra ( m-1) (m+ 2)²) < 0

Khi đó: m < 1 và m≠- 2

+ Kết hợp điều kiện . Suy ra: 0 < m < 1.

Chọn A.

Bài 196: Cho hàm số: y= (x+m)/(x-1), với tham số m bằng bao nhiêu thì

A.m= 1    B. m= 3     C.m= 5     D. m= -1

Lời giải:

+ Đạo hàm

TH1. Với m > -1 suy ra f’(x) < 0 mọi x≠ 1 nên hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

TH2. Với m < -1 suy ra f”(x) > 0 mọi x≠1 nên hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

Chọn C.

Bài 197: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên [0;2] tại một điểm 0 < x_o < 2.

A. 0 < m < 1    B. m < 0    C. m > 1    D. -1 < m < 0

Lời giải:

Điều kiện : x≠ -m.

+ Ta có:

+ Do hệ số x² là số dương và theo yêu cầu đề bài ta có bảng biến thiên như sau:

+ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x_o=1-m∈(0;2) nên 0 < -m+1 < 2

Hay -1 < m < 1.

+ Kết hợp điều kiện để hàm số liên tục trên [0; 2] thì

Ta được 0 < m < 1.

Chọn A.

Bài 198: Tìm m để bất phương trình x²-5mx+9 ≥0có nghiệm x∈[1;9]?

A.m≤ 2    B.m≤ 1    C. m≥ 2    D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Với x∈[1;9] pt

Xét

+ Suy ra

Ycbt

Chọn A.

Bài 199: Cho một tấm nhốm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để dịnh tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

A.2+ √3     B. 3√2     C. 2√2     D. Tất cả sai

Lời giải:

Ta có S_EFGH nhỏ nhất ⇔ S = S_AEH + S_CGF + S_DGH lớn nhất

Tính được 2S= 2x+ 3y+ (6-x) (6-y) = xy-4x-3y+36 (1)

Mặt khác ∆ AEH đồng dạng ∆CGF nên AE/CG = AH/CF => xy = 6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2S= 42-( 4x - 18/x).

Ta có 2S nhỏ nhất khi và chỉ khi 4x- 18/x nhỏ nhất.

Biểu thức 4x- 18/x nhỏ nhất ⇔ 4x = 18/x ⇔ x = 3√2/2 => y = 2√2

Vậy x + y = 3√2/2 + 2√2

Chọn D.

Bài 200: Muốn làm một bồn chứa 1000 lít hình trụ có nắp đậy. Hỏi chiều cao h (dm) của bồn là để ít tốn vật liệu nhất. Gần với giá trị nào nhất

A. 10, 5    B. 10,6     C. 10, 7     D. 10, 8

Lời giải:

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần bồn nước phải nhỏ nhất.

Tức là S_tp= 2πR²+ 2πRh nhỏ nhất ( với R là bán kính đường tròn đáy)

Thể tích bồn nước V = πR²h = 1000

Khi đó

Sử dụng bảng biến thiên, ta tìm được Stp nhỏ nhất khi

Chọn D.