120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao) - Toán lớp 12

---

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao)

Với 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao) Toán lớp 12 tổng hợp 120 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập 120 Bài tập Cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Câu 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f'(x). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là:

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) có 4 điểm chung với trục hoành x₁, 0, x₂, x₃ nhưng dấu của f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua hai điểm 0 và x₃.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x² - 3)

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2x. f'(x² – 3)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g’(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +∞)

• x ∈ (2; +∞) → x > 0 (1)

• x ∈ (2; +∞) ⇒ x² > 4 ⇒ x² - 3 > 1 -^{theo do thi f'(x)}→ f'(x² - 3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra g'(x) = 2x.f'(x² – 3) > 0 trên khoảng (2; +∞) nên g'(x) mang dấu “+”.

Nhận thấy các nghiệm x = 1 hoặc x = -1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g'(x) qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = 2 hoặc x = -2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x² - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1      B. 2

C.3      D. 4

Lời giải:

Ta có g'(x) = (2x - 2). f'(x² – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn A.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0) < 0 đồng thời đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f²(x) là

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

Dựa vào đồ thị, ta có:

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x⁴ + 2mx² = 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

y' = 4x³ + 4mx; y' = 0 ⇔ 4x³ + 4mx = 0

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ -m > 0 hay m < 0. (loại đáp án C và D)

Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A(0; 1), B(-√(-m), 1 - m²), C(√(-m), 1 - m²)

Ta có AB→ = (-√(-m), -m²); AC→ = (√(-m), -m²)

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên :

AB→. AC→ = 0 ⇔ -√(m²) + m².m² = 0

⇔ -|m| + m⁴ = 0 ⇔ m + m⁴ = 0

Nên m = -1 (vì m < 0)

Vậy với m = -1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x - 2017) - 2018x + 2019 là

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Ta có: g'(x)= f'(x - 2017) – 2018

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x - 2017) = 2018

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra phương trình f'(x - 2017) = 2018 có 1 nghiệm đơn duy nhất.

Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2mx² có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m > 0      B. m < 1

C. 0 < m < ³√4     D. 0 < m < 1

Lời giải:

Ta có: y' = 4x³ – 4mx = 4m(x² – m) (*)

+ Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 .

+ Xét y' = 0

Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m². (như hình minh họa)

Ta được S_ΔABC = 1/2. AC.BD = √m.m²

Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì: √m.m² < 1 ⇔ m⁵ < 1 ⇔ 0 < m < 1

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x = 0      B. x = 1

C. x = 2      D. Không có điểm cực tiểu.

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) + 1

Do đó g'(x)= 0 ⇔ f'(x) = -1

+ Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x³ – 3mx² + 4m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² – 6mx

Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A(0, 4m³) và B(2m, 0)

S_ΔABC = 1/2.OA.OB = 4 ⇔ 1/2. |4m³.2m| = 4 ⇔ 4m⁴ = 4 ⇔ m = 1 hoặc m = -1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số g(x) = f(x) - x³/3 + x² - x + 2 đạt cực đại tại

A. x = -1      B. x = 0

C. x = 1      D. x = 2

Lời giải:

Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) – x² + 2x - 1

Xét g'(x)= 0 ⇔ f'(x) – x² + 2x - 1 = 0

⇔ f'(x) = x² – 2x + 1 = (x - 1)²

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và parapol (P): y = (x - 1)²

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = 2f(x) + x² đạt cực tiểu tại điểm

A. x = -1      B. x = 0

C. x = 1      D. x = 2

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2f'(x) + 2x.

Xét phương trình g'(x)=0 hay f'(x) = - x

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = - x

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0 .

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x⁸ + (m - 2)x⁵ – (m² – 4).x⁴ + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3      B. 5

C. 4      D. Vô số.

Lời giải:

Ta xét các trường hợp sau

* Nếu m² - 4 = 0 ⇒ m = 2 hoặc m = -2

• Khi m= 2 thì y' = 8x⁷. Suy ra: y' = 0 khi x = 0 là điểm cực tiểu.

• Khi m = - 2 thì y'= x³(8x⁴ – 20).

Suy ra: y' = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 ( loại)

* Nếu m² - 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2 hoặc m ≠ -2. Khi đó ta có:

y'= 8x⁷ + 5(m - 2).x⁴ – 4(m² – 4).x³

y' = x²[8x⁵ + 5(m - 2)x² - 4(m² - 4)x]

Số cực trị của hàm y = x⁸ + (m - 2)x⁵ - (m² - 4)x⁴ + 1 bằng số cực trị của hàm g’(x) với:

Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g''(0) > 0. Khi đó

-4(m² - 4) > 0 ⇔ m² - 4 < 0 ⇒ -2 < m < 2 ⇒ m = {-1; 0; 1}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m là {-1; 0; 1; 2}.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

A. 2      B. 3

C. 4      D. 7

Lời giải:

Ta có đạo hàm g'(x)= f'(x) + 3

Xét phương trình g'(x) = 0 hay f'(x)= - 3

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -3.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số

g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị tại các điểm x = -1, x = 0 và x = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 14: Cho hàm số sau. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x₁, x₂ và thỏa mãn: x₁ + 2x₂ = 1.

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y'= mx² – 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán tương đương y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁ + 2x₂ = 1

Câu 15: Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên.

Số điểm cực đại của hàm số là:

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

Ta có:

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số có 1 điểm cực đại.

Chú ý: Cách xét dấu “-” hay “+” của g'(x) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x₀ thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g'(x).

Chẳng hạn với khoảng (-1; -1 + √2) ta chọn

Vì dựa vào đồ thị ta thấy f'(√2) < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 16: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = e^2f(x)+1 + 5^f(x) là

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

+ Ta thấy đồ thị của hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra hàm số f(x) có 3 điểm cực trị.

+ Ta có: g'(x) = 2f'(x).e^2f(x)+1 + f'(x).5^f(x).ln5 = f'(x).(2e^2f(x)+1 + 5^f(x).ln5)

+ Vì 2e^2f(x)+1 + 5^f(x).ln5 > 0 với mọi x nên g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0.

Suy ra số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số f(x).

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 17: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (-∞; -3,4) ∪ (9; +∞). Đặt g(x) = f(x) - mx + 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị ?

A. 4      B. 7

C. 8      D. 9

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x) - m.

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x) – m= 0 ⇔ f'(x) = m

Để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn ( hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt)

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x⁴ – 2mx² + 1 có ba điểm cực trị A(0,1), B, C thỏa mãn BC = 4?

A. m = 4 hoặc m = -4.      B. m = √2.

C. m = 4.      D. m = √2 hoặc m = -√2.

Lời giải:

Cách 1:

+ Ta có: y' = 4x³ - 4mx = 4x(x² - m);

+ Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0

+ Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;1), B(√m; 1 - m²) và C(-√m; 1 - m²)

Để BC = 4 ⇔ 2√m = 4 ⇔ √m = 2 ⇔ m = 4 (thỏa mãn).

Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 ⇔ m > 0

Để độ dài BC = m₀ khi và chỉ khi:

am₀² + 2b = 0 ⇔ 1.4² + 2.(-2m) = 0 ⇔ m = 4

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 19: Cho hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² + m² với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. m = -1      B. m = 0

C. m = 1      D. m = 2

Lời giải:

Cách 1.

* Ta có đạo hàm: y'= 4x³ – 4(m + 1)x = 4x(x² - m - 1)

* Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt:

⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; m²), B(√(m + 1); -2m - 1) và C(-√(m + 1); -2m - 1)

Khi đó AB− = (√(m + 1); -2m - 1 - m²) và AC− = (-√(m + 1); -2m - 1 - m²)

Để tam giác ABC vuông: AB−.AC− = 0

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m > -1

Để tam giác ABC vuông điều kiện là: 8a + b³ = 0

⇔ 8.1 + [-2(m + 1)]³ = 0 ⇔ m = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x⁴ + 2mx² + 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Lời giải:

Ta có:

* Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ -m > 0 hay m < 0

* Khi đó toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;1), B(√(-m); -m² + 1), C(-√(-m); -m² + 1)

Ta có: AB = AC nên tam giác ABC cân tại A nên điều kiện để tam giác ABC vuông cân là:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 21: Cho hàm số y = 3x⁴ + 2(m - 2018).x² + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120^o.

A. m = - 2018      B. m = -2017

C. m = 2017      D. m = 2018

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 12x³ + 4(m - 2018)x;

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2018 - m > 0 ⇔ m < 2018.

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 2017)

Do tam giác ABC cân tại A: AB = AC nên ∠BAC = 120^o. Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = AB² + AB² – 2.AB.AB.cos120^o

⇔ BC² = 3AB²

⇔ (m - 2018)³ = -1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn)

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị: ab < 0 hay m < 2018

Áp dụng công thức giải nhanh:

(với α = ∠BAC, A là điểm cực trị thuộc Oy)

Ta được:

⇔ 3[2(m - 2018)]³ = -8.3 ⇔ m = 2017 thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 22: Cho hàm số y = 1/4.x⁴ - (3m + 1)x² + 2(m + 1) với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.

A. m = -2/3.      B. m = 2/3.

C. m = -2/3.      D. m = 1/3.

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = x³ - 2(3m + 1)x = x[x² - 2(3m + 1)]

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2(3m + 1) > 0 ⇔ m > -1/3.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A(0; 2(m + 1))

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là :

Để G ≡ O ⇔ 2(m + 1) + 2(-9m² - 4m + 1) = 0

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 ⇔ m > -1/3.

Yêu cầu bài toán: G ≡ O ⇔ b² - 6ac = 0 ⇔ (3m + 1)² - 6.1/4.2(m + 1) = 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 23: Cho hàm số y = 9/8.x⁴ + 3(m - 3)x² + 4m + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.

A. m = -2      B. m = 2

C. m = 3      D. m = 2017

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 9/2.x³ + 6(m - 3)x;

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

⇔ 4(m - 3) > 0 ⇔ m < 3

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 4m + 2017)

Do tam giác ABC cân tại A nên để tam giác ABC đều thì AB = BC hay AB² = BC²

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m < 3

Để tam giác tạo bởi điểm cực trị là tam giác đều khi và chỉ khi:

b³ = -24a hay 27(m - 3)³ = -27 ⇔ m = 2

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 24: Cho hàm số y = x⁴ – mx² + m - 2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

A. m = -2      B. m = 1

C. m = 2      D. m = 4

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 4x³ - 2mx = 2x(2x² - m);

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; m - 2)

Suy ra:

Ta có:

Đặt

Ta được phương trình:

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 hay m > 0.

Yêu cầu bài toán:

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu.

A. m < 0      B. m = 0

C. m ∈ R      D. m > 0

Lời giải:

Tập xác định: D = R \ {1}.

Đạo hàm

Đặt g(x) = x² – 2x – m + 1

Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2.

A. m = -1      B. m = -3

C. m = 1      D. m = 3

Lời giải:

TXĐ: D = R \ {-m}.

Đạo hàm

Hàm số đạt cực đại tại x = 2

Thử lại với m = -1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2: không thỏa mãn.

Thử lại với m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2: thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 27: Gọi x_CĐ, x_CT lần lượt là điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số y = sin2x- x trên đoạn [0; π]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. x_CD = π/6; x_CT = 5π/6      B. x_CD = 5π/6; x_CT = π/6

C. x_CD = π/6; x_CT = π/3      D. x_CD = π/3; x_CT = 2π/3

Lời giải:

Ta có y' = 2cos2x - 1 và y'' = -4sin2x.

Xét trên đoạn [0; π], ta có y' = 0

Do đó:

Vậy x_CD = π/6; x_CT = 5π/6

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 28: Tìm giá trị cực đại của hàm số y = x + 2cosx trên khoảng (0;π).

Lời giải:

Đạo hàm y' = 1 - 2sinx và y'' = -2cosx.

Xét trên khoảng (0;π), ta có

Do đó:

Vậy giá trị cực đại của hàm số là:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 29: Biết rằng trên khoảng (0; 2π) hàm số y = a.sinx + b.cosx + x đạt cực trị tại x = π/3 và x = π. Tính tổng S = a + b

A. S = 3      B. S = √3/3 + 1

C. S = √3 + 1      D. S = √3 - 1

Lời giải:

Đạo hàm: y' = a.cosx – b.sinx + 1.

Hàm số đạt cực trị tại x = π/3 và x = π

nên

⇒ S = a + b = √3 + 1

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 30: Hàm số y = (x² - 4)²(1 - 2x)³ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.      B. 4.

C. 5.      D. 6.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 2.2x(x² - 4)(1 - 2x)³ + (x² - 4)².3.(-2).(1 - 2x)²

= (1 - 2x)²(x² - 4).[4x(1 - 2x) - 6(x² - 4)]

= -2(1 - 2x)²(x² - 4)(7x² - 2x - 12)

Phương trình y' = 0 có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 31: Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = x.(x - 1)².(x - 2)³.(x - 3)⁵. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4      B. 3

C. 2      D. 1

Lời giải:

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 32: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -1.

B. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = -2.

D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -2.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nhận xét sau:

• f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

• f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 33: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x + m|) có 5 điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5      D. Vô số.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)

Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0).

Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 34: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. Vô số.

Lời giải:

Từ đồ thị f'(x) ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f(x)

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f(x) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -^{m ∈ Z}→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 35: Với giá trị nào của thì hàm số y = x⁴ – 2mx² + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất?

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 4x² - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

Gọi A(0;4), B(-√m; -m⁴ + 4), C(-√m; -m⁴ + 4)

S_ABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|y_B - y_A|.|x_C - x_B| = 1/2.m².2√m

+ Ta có: ; BC = 2√m

và nên:

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1).(x - 1)².(x - 2) + 1 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x) – x nên:

g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)².(x - 2).

g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)².(x - 2) = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x² - 1).(4 - x) với mọi x∈ R. Hàm số g(x) = f(3 - x) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 0      B. 1

C. 2      D.3

Lời giải:

Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)² - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1);

g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 38: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x².(x - 1).(x - 4)² với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x²) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. 5

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x²) nên g'(x) = 2xf'(x²) = 2x⁵(x² - 1)(x² - 4)²

g'(x) = 0 ⇔ 2x⁵(x² - 1)(x² - 4)² = 0

Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm bội lẻ) nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g(x) = f(x²) có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 39: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x² - 2x với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x² – 8x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5     D. 6

Lời giải:

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x² - 8x) = 2(x - 4)[(x² - 8x)² - 2(x² - 8x)];

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x² - 8x)² - 2(x² - 8x)] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 40: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thỏa mãn f(x).f'''(x) = x(x - 1)²(x + 4)³ với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = [f'(x)]² - 2f(x).f''(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1      B. 2

C. 3      D. 6

Lời giải:

Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x);

g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)²(x + 4)³ = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 41: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thỏa mãn [f'(x)]² + f(x).f''(x) = 15x⁴ + 12x với mọi x. Hàm số g(x) = f(x).f'(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Ta có: g'(x) = [f'(x)]² + f(x).f''(x) = 15x⁴ + 12x

g'(x) = 0 ⇔ 15x⁴ + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 42: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)⁴.(x - 2)⁵.(x + 3)³ với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 1     B. 3

C. 5     D. 7

Lời giải:

Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)⁴(x - 2)⁵(x + 3)³ = 0

Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 43: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1).(x - 2)⁴.(x² – 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 1     B. 3

C. 5     D. 7

Lời giải:

* Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)⁴.(x² - 4) = 0

* Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|)).

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 44: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x.(x + 2)⁴.(x² + 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 0      B. 1

C. 3      D. 5

Lời giải:

Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)⁴.(x² + 4) = 0

* Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x².(x + 1).(x² + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m > -10 để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị ?

A. 6     B. 7

C. 8     D. 9

Lời giải:

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f(x) có 2 điểm cực trị dương. (*)

Xét:

Do đó (*) xảy ra khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt :

-^{m > -10, m ∈ Z}→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 46: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)²(x² + m² - 3m - 4)³(x + 3)⁵ với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5     D.6

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

Để hàm số g(x) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m² - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-^{m ∈ Z}→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 47: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)⁴.(x - m)⁵.(x + 3)³ với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-5, 5] để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5     D. 6

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -^{m ∈ Z, m ∈ [-5;5]}→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 48: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x².(x + 1).(x² + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f(|x|) có đúng 1 điểm cực trị ?

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m² - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -^{m ∈ Z-}→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 49: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)².(x² – 2x) với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = f(x² - 8x + m) có 5 điểm cực trị ?

A. 15     B. 16

C. 17     D. 18

Lời giải:

Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)²(x² - 2x) = 0

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x² - 8x + m);

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x² - 8x + m) = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*)

Xét đồ thị (C) của hàm số y = x² – 8x và hai đường thẳng d₁: y = -m, d₂: y= -m + 2 (như hình vẽ).

Khi đó (*) xảy ra khi d₁, d₂ cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 50: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(x) - x đạt cực đại tại

A. x = - 1     B. x = 0

C. x = 1     D. x = 2

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 51: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(-x² + 3x) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3      B. 4

C. 5      D. 6

Lời giải:

Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x² + 3x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 54: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số g(x) = [f(x)]² có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta có:

g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 55: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f[f(x)] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3      B. 4

C. 5      D. 6

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

• Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a)

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 56: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = 2f(x) – 3f(x)

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x)[2^f(x).ln2 - 3^f(x).ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị).

• f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy hàm số g(x)= 2^f(x) – 3^f(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 57: Để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?

A. (0; 2)      B. (-4; -2)

C. (-2; 0)      D. (2; 4)

Lời giải:

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'(2) = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 58: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h(x) = |2f(x)- 3| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4      B. 5

C. 7      D. 9

Lời giải:

Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x)

g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 59: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2      B. 3

C. 5      D. 7

Lời giải:

Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 60: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g(x) = f(x² + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x² + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x² + 1)

Vậy g'(x) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 61: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(3 - x)

A. 2     B. 3

C. 5     D. 6

Lời giải:

Ta có g(x) = f(3 - x) nên g'(x) = -f'(3 - x)

• g'(x) = 0 ⇔ f'(3 - x) = 0

• g'(x) không xác định khi 3 - x = 1 hay x = 2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số g(x) = f(3 - x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 62: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số g(x) = |f(x – 2017) + 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. 5

Lời giải:

Đồ thị hàm số u( x) = f(x - 2017) + 2018 có được từ đồ thị f(x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f(x) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của u(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) = |u(x)| có 3 điểm cực trị (tại x = 0, x = 2016, x = 2020).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 63: Cho hàm bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = |f(x) + m| có 3 điểm cực trị là:

A. m ≤ -1 hoặc m ≥ 3      B. m ≤ -3 hoặc m ≥ 1

C. m = -1 hoặc m = 3      D. 1 ≤ m ≤ 3

Lời giải:

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số |f(x)| bằng A + B với:

• A là số điểm cực trị của hàm f(x).

• B là số giao điểm của f(x) với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)

Áp dụng: Vì hàm f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) + m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị nên m ≤ -1

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nên m ≥ 3

Vậy m ≤ -1 hoặc m ≥ 3

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 64: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số g(x) = |f(x) – 2m| có 5 điểm cực trị khi

A. m ∈ (4; 11)      B. m ∈ [2; 11/2]

C. m ∈ (2; 11/2)      D. m = 3

Lời giải:

Vì hàm số f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) - 2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) - 2m với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) – 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị nên:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 65: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau có 5 điểm cực trị bằng:

A. -2016      B. -496

C. 1952      D. 2016

Lời giải:

* Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ – 3x² – 9x - 5 như hình bên dưới

* Ta thấy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị nên f(x) + m/2 cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhưng phải nhỏ hơn 32 đơn vị nên:

0 < m/2 < 32 ⇔ 0 < m < 64 -^{m ∈ Z}→ m ∈ {1; 2; 3;...; 63}

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn là:

1 + 2 + 3 + ... + 63 = [(1 + 63).63]/2 = 2016

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 66: Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g(x) = |f(x) - m| có 5 điểm cực trị.

A. -2 < m < 2      B. m > 2

C. m ≥ 2      D.

Lời giải:

+ Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x) - m cũng luôn có 3 điểm cực trị.

+ Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) – m với trục hoành là 2.

+ Để số giao điểm của đồ thị f(x)- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)

⇒ -m ≤ -2 ⇒ m > 2

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 67: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m| có 7 điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. 6

Lời giải:

* Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

* Do đó yêu cầu bài toán tìm trở thành: Tìm các giá trị của m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4.

Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời:

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị nên m > -2

• Tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị nên m < 3

Vậy -2 < m < 3 -^{m ∈ Z+}→ m ∈ {1;2}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 68: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m²| có 5 điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 4      D. 5

Lời giải:

Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m² cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Ta đi tìm các giá trị nguyên dương của tham số m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m² với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m² với trục hoành là 2, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ⇒ m² ≤ -2: vô lý

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 2 ≤ m² < 6

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 69: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-4, 4] để hàm số g(x) = |f(x - 1) + m| có 5 điểm cực trị ?

A. 3     B. 5

C. 6     D. 7

Lời giải:

Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x - 1) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của m để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2, ta cần:

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị

• Hoặc tịnh tiến đồ thị hàm số f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 3 ≤ m < 6

Vậy

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx³ – 3mx² + 3m - 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB² - (OA² + OB²) = 20 (Trong đó O là gốc tọa độ).

A. m = -1      B. m = 1

C. m = -1 hoặc m = -17/11      D. m = 1 hoặc m = -17/11

Lời giải:

Ta có: y' = m(3x² – 6x)

Với mọi m ≠ 0, ta có:

Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử A(0, 3m - 3), B( 2; -m - 3) .

Suy ra: OA² = (3m - 3)², OB² = 4 + (-m - 3)² = m² + 6m + 13 và AB² = 4 + 16m²

Ta có: 2AB² – (OA² + OB²) = 20

⇔ 2.(4 + 16m²) – [(3m - 3)² + m² + 6m + 13] = 20

⇔ 8 + 32m² – (10m² - 12m + 22) - 20 = 0

⇔ 22m² + 12m - 34 = 0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là:

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 71: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.

A. m < -1      B. m > -1

C. m > 1      D. m < 1

Lời giải:

* Nhận xét: Hàm số g(x)= f(|x| + m) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .

Suy ra: x = 0 là một điểm cực trị của hàm số.

* Ta có với x ≠ 0

Do đó g'(x) = 0 ⇔ f'(|x| + m) = 0

Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 72: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h(x) = |f²(x) + f(x) + m| có đúng 3 điểm cực trị

A. m > 1/4      B. m ≥ 1/4

C. m < 1      D. m ≤ 1

Lời giải:

Ta có: g(x) = f²(x) + f(x) + m nên g'(x)= f'(x).[2f(x) + 1]

Ta tính được

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |f²(x) + f(x) + m|

có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) nên m ≥ 1/4

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 73: Hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là -2, -1 và 0. Hàm số g(x) = f(x² – 2x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3      B. 4

C. 5      D. 6

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra

Ta có g(x) = f(x² – 2x) nên g'(x) = 2(x - 1).f'(x² - 2x)

Vì g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g(x) có 3 điểm cực trị (là x = 0, x = 1, x = 2).

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 74: Cho hàm số f(x) = x³ – (2m - 1)x² + (2 - m)x + 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị.

A. -2 < m < 5/4      B. -5/4 < m < 2

C. 5/4 < m < 2      D. 5/4 < m ≤ 2

Lời giải:

Ta có f'(x)= 3x² – 2(2m - 1)x + 2 - m

Hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực trị dương

Suy ra phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 75: Cho hàm số f(x) = mx³ – 3mx² + (3m - 2)x + 2 - m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10;10] để hàm số g(x) = |f(x)| có 5 điểm cực trị ?

A. 7      B. 9

C. 10      D. 11

Lời giải:

Để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(mx² - 2mx + m - 2) = 0

Do đó để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1:

⇔ m > 0 -^{m ∈ Z; m ∈ [-10;10]}→ m ∈ {1; 2; 3;...; 10}

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 76: Cho hàm số bậc ba f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và B(2;-1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x)= |ax².|x| + bx² + c.|x| + d| là:

A. 5     B. 7

C. 9     D. 11

Lời giải:

Ta có: g(x)= |ax².|x| + bx² + c.|x| + d| = |f(|x|)|

* Hàm số f(x) có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương khi và chỉ khi hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (1).

* Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực trị A(0;3) ∈ Oy và điểm cực trị B(2; -1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương)

Suy ra, đồ thị hàm số f(|x|) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (2).

*Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) = |f(|x|)| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 78: Cho hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a, b, c, d ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 5

Lời giải:

Hàm số g(x)= f(x) - 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.

Ta có:

Suy ra, g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f(x) - 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x) - 2018| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 79: Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x)| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 5

Lời giải:

Hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.

Ta có:

Nên hàm số f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x)| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 80: Cho hàm số f(x) = x³ + mx² + nx - 1 với m, n ∈ R. Hàm số g(x) = |f(|x|)| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2     B. 5

C. 9     D. 11

Lời giải:

Ta có:

và lim f(x) = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao cho f(p) > 0 (x → +∞)

Suy ra f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt c₁ ∈ (0;1), c₂ ∈ (1;2) và c₃ ∈ (2;p) (1)

Suy ra đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị x₁ ∈ (c₁; c₂) và x₂ ∈ (c₂; c₃) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số f(x) có dạng như hình bên dưới

Từ đó suy ra hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị nên hàm số |f(|x|)| có 11 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 81: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ ∈ (-1;0), x₂ ∈ (1;2). Biết hàm số đồng biến trên khoảng (x₁, x₂). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0

C. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0

D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0

Lời giải:

Vì hàm số y = ax³ + bx² + cx + d đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ và hàm số đồng biến trên khoảng (x₁, x₂) nên suy ra a < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.

Ta có y' = 3ax² + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ ∈ (-1;0), x₂ ∈ (1;2) nên suy ra y' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 mà a < 0 nên c > 0.

Mặt khác x₁ ∈ (-1;0), x₂ ∈ (1;2) nên x₁ + x₂ > 0

Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 82: Cho hàm số y = f(x) = ax⁴ + bx² + c biết a > 0, c > 2018 và a + b + c < 2018. Số cực trị của hàm số g(x)= |f(x - 2018)| là

A. 1     B. 3

C. 5     D. 7

Lời giải:

Đặt h(x) = f(x) – 2018 = ax⁴ + bx² + c - 2018

Từ giả thiết

nên đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị (1).

Ta có:

Suy ra h(1).h(0) < 0 có nghiệm thuộc (0, 1).

Do đó, phương trình h(x) =0 có 4 nghiệm phân biệt (2) .

Từ (1) và (2) suy ra hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 83: Cho hàm số f(x) = (m⁴ + 1).x⁴ + (-2^m+1.m² – 4).x² + 4m + 16 với m là tham số thực. Hàm số g(x) = |f(x) - 1| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3     B. 5

C. 6     D. 7

Lời giải:

Ta có:

Suy ra

• f'(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì -(m⁴ + 1)(2^m+1.m² + 4) < 0 với mọi m.

• f(x) – 1 = 0 vô nghiệm do:

Δ' = (2^m.m² + 2)² - (m⁴ + 1).(4^m + 15)

= 4.2^m.m² + 4 - 15m⁴ - 4^m - 15 = -(2^m - m²)² - 11m⁴ - 11 > 0

Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 84: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) và có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b). Biết điểm x ∈ (a,b) thỏa mãn f'(x₀) = 0 và f''(x) = (x₀ - 2).x + m² - m + 2 với m là tham số thực. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀.

B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (a,b).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (a,b).

Lời giải:

Xét hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và đạo hàm cấp hai là f''(x) = (x₀ – 2).x + m² – m + 2

Ta có f'(x₀) = 0 nên x0 là điểm cực trị của hàm số. Và f''(x₀) = (x₀ - 2).x₀ + m² – m + 2.

⇒ f''(x₀) = x₀² - 2x₀ + m² - m + 2

Suy ra x₀ là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) .

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 85: Gọi (Δ) đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 1. Tìm m để ba đường thẳng (Δ), (d₁), (d₂) với (d₁): 6x + y + 4 = 0, (d₂): (m + 1)x - y + m² - 2 = 0 đồng quy ?

A. 0     B. 1

C. 2     D. Đáp án khác

Lời giải:

Xét hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 1, ta có y' = 3x² - 6x - 9, ∀x ∈ R

Phương trình:

Như vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6).

Suy ra phương trình đường thẳng AB là: (Δ): 8x + y + 2 = 0

Tọa độ giao điểm của (Δ) và (d₁) là:

Vì (Δ), (d₁), (d₂) đồng quy nên M ∈ (d₂) suy ra: (m + 1).1 + 10 + m² – 2 = 0

Hay m² + m + 9 = 0 vô nghiệm .

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 86: Cho hàm số y = 2x³ – 3(m + 1).x² + 6mx + m³. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = √2

A. m = 0      B. m = 0 hoặc m = 2

C. m = 1      D. m = 2

Lời giải:

Ta có đao hàm: y' = 6x² – 6(m + 1).x + 6m

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 1.

Tọa độ các điểm cực trị là A(1, m³ + 3m - 1) và B(m, 3m²).

Suy ra AB² = (m - 1)² + (m³ – 3m² + 3m - 1)² = (m - 1)² + (m - 1)⁶

Theo bài ra ta có:

AB² = 2 ⇔ (m - 1)⁶ + (m - 1)² = 0 ⇔ [(m - 1)²]³ - 1 + [(m - 1)² - 1] = 0

⇔ [(m - 1)² - 1].[(m - 1)⁴ + (m - 1)² + 2] = 0 ⇔ (m - 1)²

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 87: Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + m - 2 với m là tham số, có đồ thị là (C). Xác định tham số m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

A. m < 2      B. m < 4

C. m < 3      D. m < 1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² + 6x + m có Δ'_y' = 9 - 3m.

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: Δ'_y' > 0 ⇔ m = 3.

Ta có:

Gọi x₁, x₂ là hoành độ của 2 điểm cực trị. Suy ra: y'(x₁) = y'(x₂) = 0 nên từ (*) suy ra:

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi:

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 88: Cho hàm số y = x⁴ - 2x². Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc m. Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cho đến Δ là nhỏ nhất

A. m = 0      B. m = 1/2

C. m ∈ ∅      D. m = 1 hoặc m = -1

Lời giải:

+ Xét hàm số y = x⁴ - 2x². Ta có y' = 4x³ - 4x

+ Suy ra A(0;0), B(1; -1), C(-1; -1) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đồng thời điểm A(0,0) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+ Phương trình đường thẳng Δ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx hay mx - y = 0

+ Ta có:

khi đó

với

Mặt khác 2ab ≥ 0 ⇔ (a + b)² ≥ a² + b²

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 89: Đồ thị hàm số y = ax⁴ + bx² + c có hai điểm cực trị A(0,2); B(1,m). Biểu thức P = 2(a² – m²)- b² đạt giá trị lớn nhất khi a + b + c + m bằng

A. 1      B. 2

C. -1     D. -2

Lời giải:

Xét hàm số y = ax⁴ + bx² + c ta có y' = 4ax³ = 2bx

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0,2) và B(1,m) nên:

Lấy (1) – 2.(2) ta được:

(2a + b)² – 2(a + b)² = -2(m - 2)² hay 2a² – b² = -2(m - 2)²

Khi đó: P = 2a² – b² – 2m² = -2(m - 2)² – 2m² = - 4 – 4(m - 1)² ≤ -4

Do đó max P = -4.

Dấu “=” xảy ra khi m = 1 .

Vậy

⇒ P = a + b + c + m = 2

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 90: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1)x⁴ - mx² + 3/2 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

A. m < -1     B. -1 ≤ m ≤ 0

C. m > 1      D. -1 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Ta xét hai trường hợp sau đây:

* TH1: m + 1 = 0 hay m = -1.

Khi đó y = x² + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực đại

Do đó m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1.

Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 91: Cho hàm số y = 1/3.x³ - mx² + (2m - 1)x - 3 (C_m), với m là tham số. Xác định tất cả giá trị của m để cho đồ thị hàm số (C_m) có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục trung?

A. m ∈ (1/2; +∞)\{1}      B. 0 < m < 2

C. m ≠ 1      D. -1/2 < m < 1

Lời giải:

Ta có y' = x² - 2mx + 2m – 1.

Để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ và cùng dấu với nhau.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 92: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hàm số y = 1/3.x³ - 1/2.x² + ax + 1 đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãn: (x₁² + x₂ + 2a)(x₂² + x₁ + 2a) = 9.

A. a = 2      B. a = -4

C. a = -3      D. a = -1

Lời giải:

⇒ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 1 - 2a

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² - 3x₁x₂] = 1 - 3a

Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có: Δ = 0 và

4a² + (2x₁² + 2x₂² + 2x₁ + 2x₂)a + x₁².x₂² + x₁³ + x₂³ + x₁x₂ - 9 = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 93: Cho hàm số y = |x|³ – mx + 5, m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

A. 3      B. 1

C. 2      D. 4

Lời giải:

Ta có: y = √(x⁶) - mx + 5

Suy ra:

và hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .

* TH1: m = 0.

Ta có:

vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Do đó hàm số có đúng một cực trị.

* TH2: m > 0.

Ta có: y' = 0 ⇔ 3x⁵ = m|x|³

Bảng biến thiên

Do đó hàm số có đúng một cực trị.

* TH3: m < 0.

Ta có: y' = 0 ⇔ 3x⁵ = m|x|³

Do đó hàm số có đúng một cực trị.

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 94: Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x³ + x² + mx - 1 nằm bên phải trục tung.

A. Không tồn tại m      B. 0 < m < 1/3

C. m < 1/3      D. m < 0

Lời giải:

* Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ 3x² + 2x + m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: Δ' = 1 - 3m > 0 ⇔ m < 1/3

* Khi đó có hai nghiệm phân biệt x_CĐ, x_CT là hoành độ hai điểm cực trị.

Theo định lí Viet ta có:

trong đó x_CĐ < x_CT vì hệ số của x³ lớn hơn 0.

* Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: x_CT > 0, kết hợp (2) và (3) suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ x_CĐ.x_CT = m/3 < 0 ⇔ m < 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 95: Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x³ + 3x² + mx + m - 2 nằm về hai phía so với trục hoành?

A. m > 3      B. m > 2

C. m < 3      D. 2 < m < 3

Lời giải:

Ta có: y' = 3x² + 6x + m.

Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó Δ' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3

Gọi x₁, x₂ là điểm cực trị của hàm số và y₁, y₂ là các giá trị cực trị tương ứng.

Ta có: y = x³ + 3x² + mx + m - 2

Tại 2 điểm cực trị đạo hàm bằng 0 nên y₁ = k.(x₁ + 1) và y₂ = k.(x₂ + 1) trong đó k = 2/3.m - 2

Để hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành:

⇔ y₁.y₂ ⇔ k²(x₁ + 1)(x₂ + 1) < 0 ⇔ x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 < 0 ⇔ m/3 - 2 + 1 < 0 ⇔ m < 3

Vậy m < 3 thỏa mãn bài toán.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 96: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = x³ – 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Ta có y' = 3x² – 3m nên y' = 0 khi x² = m.

Đồ thị hàm số y = x³ - 3mx + 2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.

Ta có: y = x³ - 3mx + 2 = 1/3.x(3x² - 3m) - 2mx + 2 = 1/3.xy' - 2mx + 2

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình: Δ: y= - 2mx + 2

Ta có: S_ΔIAB = 1/2.IA.IB.sin AIB = 1/2.sin AIB ≤ 1/2

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1/2 khi ∠AIB = 1 ⇔ AI ⊥ BI.

Gọi H là trung điểm AB ta có:

Mà

Suy ra:

⇔ 8m² - 16m + 2 = 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 97: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số:

y = 2/3.x³ - mx² - 2(3m² - 1)x + 2/3 có hai điểm cực trị có hoành độ x₁, x₂ sao cho: x₁.x₂ + 2.(x₁ + x₂) = 1.

A. m = 0      B. m = -2/3

C. m = 2/3      D. m = -1/2

Lời giải:

Ta có: y' = 2x² - 2mx - 2(3m² - 1) = 2(x² – mx - 3m² + 1)

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên

Δ = 52m² - 16 = 4(13m² - 4) > 0

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của g(x) nên theo định lý Vi-ét ta có:

Do đó: x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) = 1 ⇔ -3m² + 2m + 1 = 1

⇔ -3m² + 2m = 0

Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy chỉ m = 2/3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 98: Cho hàm số y = x⁴ – 2(1 - m²)x² + m + 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất .

A. m = -1/2      B. m = 1/2

C. m = 0      D. m = 1

Lời giải:

Ta có: y' = 4x³ – 4(1 - m²)x

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi: |m| < 1

Tọa độ điểm cực trị:

A(0, m + 1),

Phương trình đường thẳng BC: y = -m⁴ + 2m² + m hay y + m⁴ – 2m² – m = 0

Vậy S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi m = 0 .

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 99: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng: y = x + 2

Lời giải:

Ta có: y = 6x² - 6(m + 1)x + 6m

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên m ≠ 1

Tọa độ hai điểm cực trị là A(1, 3m - 1), B (m, -m³ + 3m²)

Đường thẳng AB :

qua A(1, 3m - 1), VTCP AB− (m - 1; -m³ + 3m² - 3m + 1) ⇒ VTPT n−((m-1)²; 1)

Phương trình AB: (m - 1)²x + y = 0 hay y = -(m - 1)²x

Để đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi :

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 100: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x⁴ – 2m²x² + m⁴ + 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp.

A. m = 1 hoặc m = -1      B. m = 1

C. Không tồn tại m.      D. m = -1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x³ – 4m²x = 4x(x² – m²)

Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0

Khi đó 3 điểm cực trị là: A(0, m⁴ + 1), B(-m; 1), C(m; 1)

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC. Do tính chất đối xứng, ta có: A, O, I thẳng hàng nên AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác ABOC.

Vậy AB ⊥ OB ⇔ AB−.OB− = 0

Kết hợp điều kiện m = 1 hoặc m = -1 (thỏa mãn).

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 101: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = mx⁴ + (m - 1)x² + 1029 chỉ có đúng một cực trị?

Lời giải:

* Trường hợp 1: Nếu m = 0

Ta có hàm số: y = -x², hàm số này có 1 cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0

Đạo hàm: y' = 4mx³ + 2(m - 1)x

Hàm số có đúng 1 cực trị

Kết hợp TH1 và TH2 ta có: thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 102: Với giá trị thực nào của tham số m thì hàm số y = (m + 2).x³ + 3x² + mx - 6 có cực trị ?

A. m ∈ (-3;1)\{2}      B. m ∈ (-3;1)

C. m ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞)      D. m ∈ [-3;1]

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3(m + 2)x² + 6x + m

* Trường hợp 1: Nếu m = -2 khi đó hàm số trở thành: y = 3x² – 2x

Đạo hàm y' = 6x - 2 và y'' = 6

Ta có y' = 0 ⇔ x = 1/3; y''(1/3) = 0

Nên điểm x = 1/3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = -2 thỏa mãn.

* Trường hợp 2. Nếu m ≠ -2

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ m ∈ (-3; 1)\{-2}

Kết hợp hai trường hợp; các giá trị của m thỏa mãn là (-3; 1) .

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 103: Các giá trị của tham số m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4m + 3)x² + m - 19 có ba điểm cực trị là:

A. m ∈ (-∞; 0)      B. m ∈ (-∞ 0) ∪ (3; +∞)

C. m ∈ (-∞ 0) ∪ (1;3)      D. m ∈ (1;3)

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 4mx³ + 2(m² – 4m + 3).x ( *)

Để hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình ( *) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ m ∈ (-∞ 0) ∪ (1;3)

(áp dụng công thức tính nhanh: Hàm số y = ax⁴ + bx² + c có ba cực trị ⇔ ab > 0).

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 104: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1).x⁴ – mx² + 100 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

A. m < -1      B. -1 ≤ m ≤ 0

C. m > 1      D. -1 ≤ m < 0

Lời giải:

Ta xét hai trường hợp sau đây:

* TH1: Nếu m + 1 = 0 hay m = -1.

Khi đó y = x² + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (tại x = 0) mà không có cực đại

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1.

Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có :

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 105: Giá trị của m để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 là:

A. m = - 1      B. m = -3

C. m = 1      D. m = 3

Lời giải:

Tập xác định D = R\{-m}.

Đạo hàm:

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 ⇒ y'(2) = 0

* TH1: nếu m= - 1

Khi đó:

Cho

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = -1 và đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = 3

Suy ra trường hợp này bị loại.

* TH2: Nếu m = -3

Khi đó:

Cho

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 4.

Vậy m = -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 106: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x⁴ – 2m²x² + 10 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

A. m = -1      B. m ≠ 0

C. m = 1      D. m = 1 hoặc m = -1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x³ – 4m²x

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 4x.(x² – m²) = 0

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;1), B(m; 1 - m⁴), C(-m; 1 - m⁴)

Do tính chất đối xứng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A

Kết hợp điều kiện ta có: m = 1 hoặc m = -1 (thỏa mãn).

Lưu ý: có thể sử dụng công thức

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 107: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số:

y = 1/3.x³ + (m + 3).x² + 4(m + 3)x + m² - 10m đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãn -1 < x₁ < x₂

A. m > -3      B. -3 < m < 1

C. 1 < m < 4      D. -7/2 < m < -3

Lời giải:

Đạo hàm: y' = x² + 2(m + 3) + 4(m + 3)

Giả sử phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt, theo hệ thức Vi- et ta có:

Để hàm số đã cho đạt cực trị tại x₁, x₂ và thỏa mãn -1 < x₁ < x₂ khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ và thỏa mãn -1 < x₁ < x₂.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 108: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 3)x² + 11 – 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C(0; -1) thẳng hàng .

A. m = 4      B. m = 1

C. m = -3      D. m = 2

Lời giải:

Đạo hàm y' = 6x² + 6(m - 3)x

Xét phương trình y' = 0

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi: 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0; 11 - 3m) và B(3 - m; m³ – 9m² + 24m – 16)

Và AB−(3 - m; (3 - m)³)

Phương trình đường thẳng AB là: (3 - m)² x + y – 11 + 3m = 0

Để ba điểm A, B và C thẳng hàng thì điểm C thuộc đường thẳng AB nên ta có: -1 – 11 + 3m = 0 ⇔ m = 4.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 109: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ – 3mx² + 3m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

A. m = 2 hoặc m = 0      B. m = 2

C. m = -2      D. m = 2 hoặc m = -2

Lời giải:

Đạo hàm: y' = 3x² – 6mx = 3x(x - 2m)

Xét phương trình

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi: 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0. (1)

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; 3m³) và B(2m; -m³).

Ta có: OA−(0; 3m³) ⇒ OM = 3|m³|. (2)

Ta thấy A ∈ Oy ⇒ OA ≡ Oy ⇒ d(B; OA) = d(B; Oy) = 2.|m| (3)

Từ (2) và (3) suy ra S_OAB = 1/2.OA.d(B;OA) = 3m⁴

Do đó: S_OAB = 48 khi 3m⁴ = 48 ⇔ m = 2 hoặc m = -2 (thỏa mãn (1) ).

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 110: Cho hàm số y = x⁴ – 2m²x² – 1 ( C). Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân:

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Lời giải:

- Có đạo hàm y' = 4x³ - 4m²x = 4x.(x² – m²)

Xét phương trình:

- Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y' = 0 phải có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m ≠ 0

Vậy với m ≠ 0 thì hàm số có 3 cực trị.

- Tiếo theo, ta tìm m để ba điểm cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

- Vì y là hàm trùng phương nên tam giác ABC cân (giả sử cân tại A).

- Gọi 3 điểm cực trị là: A(0;-1); B(-m; -1 - m⁴) và C(m; -1 - m⁴)

AB−(-m; -m⁴), AC−(m; -m⁴)

- Để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 111: Xác định m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng (d): 9x – 7y – 1 = 0 .

A. -3 < m < 9/7      B. 3/7 < m < 9

C. m > -3      D. m > 9

Lời giải:

- TXĐ: D = R\ {1}.

- Tính

Phương trình y' = 0 có nghiệm x = 4; x = -2

- Gọi A và B là hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:

⇒ A(-2; m – 4); B(4; m + 8)

- Để A và B nằm về hai phía của đường thẳng (d) thì:

⇔ (9x_A - 7y_A - 1).(9x_B – 7x_B - 1) < 0

⇔ (9 - 7m).(21 + 7m) > 0 nên -3 < m < 9/7

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 112: Cho hàm số y = 1/3.mx³ - (m - 1)x² + 3(m - 2)x + 1/3. Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x₁, x₂ thỏa x₁ + 2x₂ = 1.

A. m = 2 hoặc m = -2/3      B. m = -2 hoặc m = 2/3

C. m = 2 hoặc m = 2/3      D. m = -2 hoặc m = -2/3

Lời giải:

- Đạo hàm y' = mx² - 2(m - 1)x + 3(m - 2)

- Hàm số có hai cực trị

- Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình y' = 0

- Theo định lý Vi-ét, ta có

- Thay (1) vào phương trình x₁ + 2x₂ = 1

Ta được x₂ = -1 + 2/m ⇒ x₁ = 3 - 4/m

- Từ (2) suy ra:

So với điều kiện (*): m = 2 hoặc m = 2/3

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 113: Cho hàm số y = x⁴ – 2(m – 1)x² + 3. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc bằng 120^o.

Lời giải:

Nhận xét: Đây là hàm trùng phương với đỉnh cân tại điểm có hoành độ bằng 0. Vậy 2 góc đáy phải có số đo nhỏ hơn 90^o. Đề cho tam giác có 1 góc bằng 120^o vậy góc đó phải nằm ở đỉnh cân.

Cách 1: Làm theo tự luận

Đạo hàm y' = 4x³ – 4(m + 1)x = x.[x² – (m + 1)]

Để hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m + 1 > 0 hay m > -1 (1)

Xét phương trình:

- Gọi các điểm cực trị có tọa độ: A(0;3);

- Gọi I là trung điểm đoạn BC ⇒ I(0; -(m + 1)² + 3)

- Góc ở đỉnh cân A bằng 120^o suy ra góc B bằng 30^o

⇒ AI = tan30^o.BI = BI ⇔ 3AI² = BI²

⇔ 3(m + 1)⁴ = m + 1 ⇔ 3(m + 1)³ = 1 (do m + 1 > 0 )

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh

Hay 3[-2.(m + 1)]³ = -8 ⇔ 3(m + 1)³ = 1

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 114: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² + m² có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

A. Không tồn tại m.      B. m = 0

C. m = 0 hoặc m = -1      D. m = -1

Lời giải:

* Đạo hàm: y' = 4x³ – 4(m + 1)x

Xét phương trình y' = 0 ⇔ 4x(x² – m – 1) = 0

Hàm số có điểm 3 cực trị khi và chỉ khi m + 1 > 0 hay m > -1

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;m²)

Do tính chất đối xứng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh ⇔ AB−.AC− = 0

⇔ -(m + 1) + (-m² – 2m – 1)² = 0

⇔ m⁴ + 4m³ + 6m² + 3m = 0

Kết hợp điều kiện ta có: m = 0 (thỏa mãn).

Lưu ý: Có thể làm theo cách khác:

+) Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC, tìm tọa độ điểm M, tam giác ABC vuông tại đỉnh A thì 2AM = BC.

+) Cách 2: Sử dụng định lý Pitago BC² = AB² + AC².

+) Cách 3:

+) Hoặc sử dụng công thức

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 115: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x⁴ – 2mx² + 2m + m⁴ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x³ – 4mx = 4x.(x² – m)

Xét phương trình y'= 0 hay 4x.(x² – m) = 0

Hàm số có 3 cực trị khi m > 0.

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;m⁴ + 2m), B(-√m; m⁴ - m² + 2m), B(√m; m⁴ - m² + 2m)

Do tính chất đối xứng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A .

Vậy tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

⇔ m + m⁴ = 4m ⇔ m⁴ = 3m

Kết hợp điều kiện ta có: m = ³√3 ( thỏa mãn).

Lưu ý: có thể sử dụng công thức

⇔ m³ = 3 ⇔ m = ³√3

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 116: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = -x³ + 3mx + 1 có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).

A. m = 3/2      B. m = -1/2

C. m = 1      D. m = 1/2

Lời giải:

Ta có đạo hàm y' = -3x² + 3m.

Phương trình y' = 0 ⇔ x² – m = 0 (*)

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 (**)

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(-√m; 1 - 2m√m), B(√m; 1 + 2m√m)

Tam giác OAB vuông tại O ⇒ OA−.OB− = 0 ⇔ 4m³ + m - 1 = 0 ⇔ m = 1/2 (thỏa mãn).

Vậy m = 1/2.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 117: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x³ – 3(m + 1)x² + 12mx – 3m + 4 (C) có hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C(-1; -9/2) lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.

A. m = -1/2      B. m = - 2

C. m = 2      D. m = 1/2

Lời giải:

Ta có y' = 3x² – 6(m + 1)x + 12m

Hàm số có hai cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ' = 9(m + 1)² - 36m = 9(m - 1)² ⇔ m ≠ -1(*).

Khi đó hai điểm cực trị là A(2; 9m), B(2m; -4m³ + 12m² – 3m + 4).

Để ΔABC nhận O làm trọng tâm

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 118: Cho hàm số y = x⁴ – 2(1 - m²)x² + m + 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.

A. m = -1/2      B. m = 1/2

C. m = 0      D.m = 1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x³ – 4(1 - m²)x = 4x.[x² – (1 - m²)]

Xét phương trình:

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi: |m| < 1

Tọa độ điểm cực trị A(0; m + 1)

Phương trình đường thẳng BC: y + m⁴ - 2m² – m = 0

d(A; BC)= m⁴ – 2m² + 1,

Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 119: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x³ - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A, B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² – 3m

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0.

Với m > 0 thì phương trình

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

M(√m; -2m√m + 2), N(-√m; 2m√m + 2), MN−(-2√m; 4m√m)

Phương trình đường thẳng MN: 2mx + y – 2 = 0:

Ta có đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I bán kính R = 1 tại hai điểm A và B nên IA = IB = 1.

Diện tích tam giác IAB là: S_IAB = 1/2.IA.IB.sin AIB = 1/2. sin AIB ≤ 1/2

Dấu bằng xảy ra khi ∠AIB = 90^o. Khi đó; tam giác IAB là tam giác vuông tại I nên ta có:

⇔ 4(4m² – 4m + 1) = 2(4m² + 1) ⇔ 8m² – 16m + 2 = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 120: Cho hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x + m. Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời A, B cùng với gốc tọa độ O không thẳng hàng. Khi đó chu vi tam giác OAB nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

A. √10 - √2      B. √10 + √2

C. √10 + √5      D. √8 + √5

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 6x² - 18x + 12

Xét phương trình:

Tọa độ hai điểm cực trị là A(1; 5 + m) và B(2; 4 + m) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó: OA−(1;5 + m), OB−(2; 4 + m), AB−(1; -1)

Để ba điểm A; B và O là 3 đỉnh của một tam giác thì hai vecto OA−, OB− không cùng phương:

Chu vi của tam giác OAB là:

Sử dụng tính chất:

Từ đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u−, v− cùng hướng

Vậy chu vi tam giác OAB nhỏ nhất bằng (√10 + √2) khi m = -14/3.

Suy ra chọn đáp án B.