Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) - Toán lớp 12

---

Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Với Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải

Cho đồ thị của hai hàm số: y = f(x) có đồ thị (C₁) và y = g(x) có đồ thị (C₂). Để tìm giao điểm của hai đồ thị trên ta làm như sau:

+ Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f(x) = g(x)

+ Bước 2. Giải phương trình trên ta tìm được x (chú ý điều kiện)

⇒ y= ..

+ Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số giao điểm của đồ thị (C): y = x³ - 3x² + 2x + 1 và đường thẳng d: y = 1

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C):

x³ - 3x² + 2x + 1 = 1 ⇔ x³ – 3x² + 2x = 0

Vậy có ba giao điểm A(0;1), B(1;1), C(2; 1).

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Gọi giao điểm của đồ thị (C): y = x⁴ + 2x² - 3 và trục hoành là A(x₁; y₁), B(x₂; y₂). Tính x₁ + x₂ ?

A. 0      B. 1

C. 2      D. 4

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

Vậy có hai giao điểm: A(-1; 0) và B(1; 0) .

Suy ra: x₁ + x₂ = 0

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị sau và đường thẳng d: y = x + 2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

Điều kiện: x ≠ 1/2.

Với điều kiện trên (1) tương đương:

2x + 1 = (2x - 1).(x + 2)

⇔ 2x + 1 = 2x² + 4x - x - 2 ⇔ 2x² + x - 3 = 0

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (-3/2; 1/2) và (1; 3).

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số sau và đường thẳng y = x + 1?

A. (-1; 0)      B. (2; 3)

C. (1; 2)      D. (4; 5)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Điều kiện: x ≠ -1

Với điều kiện trên (*) trở thành:

x² – 2x - 3 = (x + 1).(x - 1)

⇔ x² - 2x - 3 = x² - 1

⇔ -2x = 2 nên x = -1 ⇒ y = 0

Vây giao điểm cần tìm là A(-1; 0)

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho hai đồ thị hàm số (C1): y = x⁴ – x³ + x² + 3 và (C2): y = -x³ + 6x² – 1. Tìm số giao điểm có tọa độ nguyên của hai đồ thị hàm số trên ?

A. 1      B. 2

C. 4      D. 3

Lời giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

x⁴ – x³ + x² + 3 = -x³ + 6x² – 1

⇔ x⁴ – x³ + x² + 3 + x³ – 6x² + 1 = 0

⇔ x⁴ – 5x² + 4 = 0 (*)

Đặt x² = t (t ≥ 0). Khi đó; phương trình (*) trở thành: t² – 5t + 4 = 0

Suy ra hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: A(1; 4); B(-1; 6); C(2;15); D(-2; 31)

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số (C): và đường thẳng d: y = x + 4. Biết đồ thị (C) cắt đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại điểm M(x; y). Tính 2x + y?

A. -3      B. -4

C. 3      D. 2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

Suy ra đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại điểm (-8/3; 4/3) nên 2x + y = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 2. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải

* Phương pháp cô lập tham số m:

• Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x; m) = 0 (phương trình ẩn x; tham số m).

• Bước 2. Cô lập m đưa phương trình về dạng f(m) = g(x)

• Bước 3. Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x).

• Bước 4. Dựa vào yêu cầu bài toán và bảng biến thiên từ đó suy ra các giá trị của m thỏa mãn.

* Phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của phương trình :

+ Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0

• Phương trình có 1 nghiệm khi Δ = 0

• Phương trình vô nghiệm khi Δ < 0

+ Phương trình bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0

• Nếu đã đoán được phương trình có 1 nghiệm x = x₀ ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hor ner để phân tích đa thức thành nhân tử. Khi đó

ax³ + bx² + cx + d = 0

Dựa vào yêu cầu bài toán; ta đi giải phương trình (*).

• Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải quyết theo hướng dùng cực trị của hàm số.

1. Đồ thị cắt trục hoành đúng 3 điểm phân biệt ⇔ y_CT. y_CĐ < 0

2. Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành ⇔ y_CT. y_CĐ = 0

3. Đồ thị có một điểm chung với trục hoành ⇔ y_CT. y_CĐ > 0 hoặc hàm số không có cực trị .

Phương trình trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0 (1)

• Đặt t = x² (t ≥ 0) phương trình (1) trở thành: at² + bt + c = 0 (2)

• Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có 2 nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn

• Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn:

• Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn: 0 = t₁ < t₂

• Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn: 0 < t₁ < t₂

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = mx³ – x² – 2x + 8m có đồ thị là (Cm ). Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và trục hoành:

mx³ – x² – 2x + 8m = 0 (1)

⇔ (x + 2)[mx² - (2m + 1)x + 4m] = 0

* Để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có ba nghiệm phân biệt. Hay (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Vậy m ∈ (-1/6; 1/6)\{0} thỏa yêu cầu bài toán.

Mà m nguyên nên không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x³ – 3mx² + (m - 1)x + 1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -x + 1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

A. (-∞; 0) ∪ (8/9; ∞)      B. (-∞; -8/9) ∪ (0; ∞)

C. (0; 8/9)      D. (-8/9; 0)

Lời giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

2x³ - 3mx² + (m - 1)x + 1 = -x + 1

⇔ 2x³ – 3mx² + (m - 1)x + x = 0

⇔ x(2x² – 3mx + m) = 0

* Để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ (-∞; 0) ∪ (8/9; ∞)

Vậy (-∞; 0) ∪ (8/9; ∞) thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x⁴ – 2x² – m + 3 = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

A. 1 < m < 2      B. 2 < m < 4

C. 2 < m < 3      D. 3 < m < 4

Lời giải:

* Ta có: x₄ – 2x₂ – m + 3 = 0 ⇔ x⁴ – 2x² + 3 = m (1)

* Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C): y = x⁴ – 2x² + 3 và đường thẳng d: y = m.

Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) và d.

* Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số y = x⁴ - 2x² + 3.

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: y' = 4x³ – 4x. Xét phương trình y' = 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có bốn nghiệm phân biệt khi 2 < m < 3.

Vậy 2 < m < 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị là (C).

Tìm giá trị nguyên dương m nhỏ nhất để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

A. 1      B. 5

C. 0      D. 6

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Điều kiện: x ≠ -1. Khi đó (1) ⇔ (1) ⇔ 2x - 1 = (-x + m)(x-1)

⇔ x² – (m - 1)x + m - 1 = 0 ( 2)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác

⇔ m² – 6m + 5 > 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (5; +∞)

Vậy giá trị m cần tìm là m ∈ (-∞; 1) ∪ (5; +∞)

Suy ra giá trị nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn là m = 6.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ + mx + 2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A. m > -3      B. m < -1

C. m > 3      D. m < 1

Lời giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: x³ + mx + 2 = 0.

* Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

* Xét hàm số

Suy ra

Vậy f'(x) = 0 khi x = 1.

* Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi m > -3. Vậy m > -3 thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

A. m ≠ 0      B. m > 0

C. m < 0      D. 0 < m ≠ 1

Lời giải:

Đường thẳng d có dạng y = m(x - 1) = mx - m.

Phương trình hoành độ giao điểm:

⇔ x + 2 = (mx - m)(x - 1)

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = 1.

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ thỏa mãn

x₁ < 1 < x₂

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3. Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn điều kiện.

I. Phương pháp giải

Cho đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

f(x) = g(x) hay f(x) - g(x) = 0

* Khi rút gọn nếu ta được phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0

Theo hệ thức Viet ta có:

1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: P < 0.

2. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi

3. Phương trình có hai nghiệm âm phâm biệt khi

* Nếu ta rút gọn được phương trình bậc ba; ta sử dụng phương pháp cô lập m; đoán nghiệm... để đưa về giải phương trình bậc hai.

* Các công thức hay dùng:

• Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀).

• Cho điểm A(x₁; y₁); B(x₂; y₂).

Ta có:

• Diện tích tam giác:

Trong đó:

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác; p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.

h_a, h_b, h_c là độ dài của đường cao ương ứng với các cạnh a, b, c .

R, r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C): y = x³ – 3x² + 4 tại ba điểm phân biệt A, B, C và tam giác OBC có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).

A. k = -1      B. k = 2

C. k = 1      D. k = -2

Lời giải:

* Đường thẳng d đi qua A(-1;0) và có hệ số góc k nên có dạng: y = k(x + 1) hay kx - y + k = 0.

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

x³ - 3x² + 4 = kx + k ⇔ (x + 1)(x² - 4x + 4 - k) = 0

* Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

* Khi đó g(x) = 0 ⇒ x = 2 - √k; x = 2 + √k. Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là:

A(-1;0), B(2 - √k; 3k - k√k), C(2 + √k; 3k + k√k)

* Tính được

Khi đó

⇔ |k|√k = 1 ⇔ k³ = 1 ⇔ k = 1.

Vậy k = 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x⁴ – (3m + 2)x² + 3m (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -1 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.

A. m ≠ 0      B. -1/3 < m < 1

C. -2 < m < 1/3      D. Cả A và B đúng

Lời giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y = -1 là

x⁴ – (3m + 2)x² + 3m = -1

⇔ x⁴ – (3m +2)x² + 3m + 1 = 1 (*)

* Đặt t = x² (t ≥ 0), phương trình (*) trở thành:

t² - (3m + 2)t + 3m + 1 = 0

Khi đó

Yêu cầu bài toán:

⇔ -1/3 < m < 1 và m ≠ 0

Vậy -1/3 < m < 1 và m ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x⁴ – (3m + 4)x² + m² có đồ thị là (Cm). Tìm giá trị nguyên của m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A. m = 10      B. m = 12

C. m = 11      D. m = 13

Lời giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴ – (3m + 4)x² + m² = 0

Đặt t = x² (t ≥ 0), phương trình (1) trở thành: t² – (3m + 4)t + m² = 0

* Để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

⇔ (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt

* Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm 0 < t₁ < t₂.

Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là: x₁ = -√t₂ < x₂ = -√t₁ < x₃ = √t₁ < x₄ = √t₂

Bốn nghiệm x₁; x₂; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng

⇔ x₂ – x₁ = x₃ - x₂ = x₄ – x₃

⇔ -√t₁ + √t₂ = 2√t₁ ⇔ √t₂ = 3√t₁ ⇔ t₂ = 9t₁ (3)

* Theo định lý Viet ta có

Từ (3) và (4) ta suy ra được

Thay (6) vào (5) ta được 9/100.(3m + 4)² = m²

Kết hợp điều kiện m nguyên thì giá trị m cần tìm là m = 12.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2 (C) cắt đường thẳng d: y = m(x - 1) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂, x₃ thỏa mãn x₁² + x₂² + x₃² = 5 .

A. m > -3      B. m = -3

C. m > -2      D. m = -2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

x³ – 3x² + 2 = m(x - 1) hay (x - 1).(x² – 2x - 2) – m(x - 1) = 0

Để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác1.

Giả sử x₁ = -1. Khi đó x₂, x₃ là hai nghiệm của phương trình (*) .

Theo định lí Viet, ta có

Để x₁² + x₂² + x₃² = 5 thì 1² + x₂² + x₃² = 5 ⇔ x₂² + x₃² = 5

⇔ (x₂ + x₃)² - 2x₂x₃ = 4

⇔ 4 + 2(m + 2) = 4 ⇔ 2m = -4 nên m = -2 ( thỏa mãn)

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x³ + 2mx² + (m + 3)x + 4 (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1,3).

A. m = 2; m = 3      B. m = 3

C. m = -2; m = -3      D. m = -2; m = 3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C):

x³ + 2mx² + (m + 3)x + 4 = x + 4

⇔ x³ + 2mx² + (m + 2)x = 0

⇔ x.(x² + 2mx + m + 2) = 0

Để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của (*). Theo định lí Viet, ta có

Giải sử B(x₁; x₁ + 4), C(x₂; x₂ + 4).

Ta có

(chú ý đường thẳng d chính là đường thẳng BC).

Theo đề: S_ΔMBC = 4 ⇔ 1/2.d(M, d)BC = 4 ⇔ (x₁ - x₂)² = 16

⇔ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 16

⇔ m² - m - 6 = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = -mx cắt đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² – m + 2 (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.

A. m > 1      B. m < 3

C. m < -1      D. m > 0

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C)

x³ – 3x² – m + 2 = -mx ⇔ x³ – 3x² + 2 + m(x - 1) = 0

⇔ (x - 1).(x² – 2x + m - 2) = 0

Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lí Viet, ta có x₁ + x₂ = 2 nên suy ra x₁ > 1 hoặc x₂ > 1.

Giả sử x₂ > 1 thì x₁ = 2 - x₂ < 1, suy ra x₁ < 1 < x₂.

Theo giả thiết BA = BC nên B là trung điểm của AC do đó x_B = 1 và x_A = x₁; x_C = x₂.

Ta thấy: x_A + x_C = 2.x_B

⇒ d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn AB = BC.

Vậy với m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 4. Dựa vào đồ thị hàm số, bảng biến thiên biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị

I. Phương pháp giải

+ Cho đồ thị của hai hàm số (C₁): y = f(x) và (C₂): y = g(x). Số điểm chung của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x).

+ Đường thẳng y = m là đường thẳng đi qua điểm M(0; m) và song song với trục Ox. Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị (C) của hàm số ta dễ dàng tìm được số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị ( C)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) + m + 1 = 0 có duy nhất một nghiệm.

A. m > 0 hoặc m < 4      B. -4 < m < 0

C. m < -4 hoặc m > 0      D. m > 4 hoặc m < 0

Lời giải:

Phương trình: f(x) + m + 1 = 0 tương đương: f(x) = -m - 1

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = -m - 1(là đường thẳng qua M(0; -m - 1); có phương song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2|x|³ - 9x² + 12|x| + m = 0 có sáu nghiệm phân biệt.

A. m < - 5      B. -5 < m < -4

C. 4 < m < 5      D. m > -4

Lời giải:

Trước tiên từ đồ thị hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x, ta suy ra đồ thị hàm số y = 2|x|³ – 9x² + 12|x| như hình dưới đây:

Phương trình 2|x|³ – 9x² + 12|x| + m = 0 ⇔ 2|x|³ – 9x² + 12|x| = -m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2|x|³ – 9x² + 12|x| và đường thẳng y = - m

Dựa vào đồ thị hàm số y = 2|x|³ – 9x² + 12|x|, để phương trình 2|x|³ – 9x² + 12|x| + m = 0 có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 4 < -m < 5 hay -5 < m < -4

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình |f(x)| = m có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 1.      B. m > 5

C. m = 1; m = 5      D. 0 < m < 1; m > 5

Lời giải:

Ta có:

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình vẽ.

Phương trình |f(x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| và đường thẳng y = m (cùng phương với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình f(|x - 2|) = -1/2 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2     B. 3

C. 6     D. 4

Lời giải:

* Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y = f(x - 2).

Tiếp theo giữ phần đồ thị phía bên phải đường thẳng x = 2, xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x = 2.

Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ lại ở trên qua đường thẳng x = 2. Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số y = f(|x - 2|) (hình vẽ bên dưới)

* Dựa vào đồ thị hàm số y = f(|x - 2|), ta thấy đường thẳng y = -1/2 cắt đồ thị hàm số y = f(|x - 2|) tại 4 điểm phân biệt

Suy ra: phương trình y = f(|x - 2|) = -1/2 có 4 nghiệm phân biệt.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)= m+1 có đúng hai nghiệm.

A. -2 < m < -1      B. m > 0; m = -1

C. m = -2; m > -1      D. m = -2; m ≥ -1

Lời giải:

* Phương trình f(x) = m + 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m + 1 ( đi qua M(0; m + 1) và cùng phương với trục hoành).

* Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như sau:

Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=f(x) cắt đường thẳng y=2m-1 tại hai điểm phân biệt.

A. 1 ≤ m < 3/2      B. 1 < m < 2

C. 1 ≤ m ≤ 3/2      D. 1 < m < 3/2

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = 2m - 1 tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi: 1 < 2m - 1 < 2 ⇔ 1 < m < 3/2

Chú ý: không có giá trị nào của x để y = 2 mà chỉ tồn tại và không có giá trị của x để y = 1 mà chỉ tồn tại

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x), xác định trên R\{-1;1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y = 2m + 1cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

A. m ≤ -2      B. m ≥ 1

C. m ≤ -2, m > 1      D. m < -2, m > 1

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = 2m + 1 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 5. Sự tiếp xúc của hai đường cong.

I. Phương pháp giải

* Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình:

Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

* Giả sử hai đường cong tiếp xúc với nhau tại M(x₀; y₀) khi đó phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị là: y = g'(x₀)(x - x₀) + y₀

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường cong y = x³ - x + 1 và y = x² - 5/4.x + 1. Chứng minh hai đường cong tiếp xúc với nhau tại một điểm M nào đó. Tìm tọa độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung đó.

Lời giải:

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1/2; 5/8).

Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại M của hai đường cong đã cho là: y'(1/2) = -1/4

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm M là:

Ví dụ 2: Chứng minh đường cong y = 2x³ – x² – x tiếp xúc với parabol y = x² + x - 2 tại một điểm nào đó. Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó?

Lời giải:

* Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1; 0).

* Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại điểm M của hai đường cong là y'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại M là: y = 3(x - 1) + 0 hay y = 3x - 3.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số f(x)= x2 + 3x và tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị.

Lời giải:

* Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(0; 0)

* Ta có f'(0) = 3. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đã cho là: y = 3(x - 0) + 0 hay y = 3x

Ví dụ 4: Tìm các hệ số a, b sao cho parabol y = f(x) = 2x² + ax + b tiếp xúc với hypebol y = g(x) = 1/x tại điểm M(1/2; 2)

Lời giải:

Ta có hoành độ tiếp điểm của parabol và hypebol là nghiệm hệ phương trình:

Theo giả thiết parabol và hypebol tiếp xúc với nhau tại điểm M(1/2; 2) nên x = 1/2 là nghiệm hệ phương trình trên. Thay vào hệ phương trình trên ta được:

Vậy a = -6; b = 9/2.