Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải

---

Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải

Với Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập bất phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

I. LÝ THUYẾT

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

• Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a^M > a^N ⇔ (a - 1)(M - N) > 0 .

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu:

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì: f(u) < f(v) => u > v

Hàm số y = f(x) đồng biến biến trên D thì: f(u) < f(v) => u < v

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

Xét bất phương trình có dạng:

a^x > b

- Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a^x > b,∀x ∈ R.

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a^x >

+Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_ab

+Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_ab

Chú ý

+ Xét bất phương trình: a^f(x) > b (1)

+ Xét bất phương trình: a^{f(x) <} b (2)

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x > 3^x+1 là

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

Vậy tập nghiệm của BPT là

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x + 2^x+1 ≤ 3^x + 3^x-1

A. x ∈ [2;+∞) . B. x ∈ (2;+∞). C. x ∈ (-∞;2). D. (2;+∞)

Hướng dẫn giải

2^x + 2^x+1 ≤ 3^x + 3^x-1

Vậy tập nghiệm của BPT là x ∈ [2;+∞) .

Chọn D.

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình là:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình: là:

A. S = [1;+∞) ∪ . B. S = [1;+∞).

C. S = [0;+∞). D. S = [2;+∞) ∪ .

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x ≥ 0.

Vậy tập nghiệm của BPT là S = [1;+∞) ∪ .

Chọn A.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x + 4.5^x - 4 < 10^x là:

A. B. x < 0

C. x > 2 D. 0 < x < 2

Hướng dẫn giải

2^x + 4.5^x - 4 < 10^x

⇔ 2^x - 10^x + 4.5^x - 4 < 0 ⇔ 2^x(1 - 5^x) - 4(1 - 5^x) < 0 ⇔ (1 - 5^x)(2^x - 4) < 0

Chọn A.

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

Xét bất phương trình a^f(x) > a^g(x)

• Nếu a > 1 thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x) (cùng chiều khi a > 1)

• Nếu 0 < a < 1 thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x)(ngược chiều khi 0 < a < 1)

• Nếu a chứa ẩn thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ (a - 1)[f(x) - g(x)] > 0(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

A. S = (2;+∞) . B. S = (-∞; 0).

C. S = (0;+∞). D. S = (-∞; +∞) .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (0;+∞).

Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là x = .

Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên dương của BPT.

Câu 3: Giải bất phương trình ta được tập nghiệm:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

Vậy tập nghiệm của BPT là

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình là

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Vậy tập nghiệm của BPT có dạng S = (-∞;3) .

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải:

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 3^2x+1 - 10.3^x + 3 ≤ 0 là

A. [-1;0). B. (-1;1). C. (0;1]. D. [-1;1].

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Tập xác định: D = R .

3^2x+1 - 10.3^x + 3 ≤ 0 ⇔ 3.(3^x)² - 10.3^x + 3 ≤ 0

Đặt t = 3^x, t > 0

BPT ⇔ 3t² - 10t + 3 ≤ 0 ⇔ ≤ t ≤ 3 ⇔ 3^-1≤ t ≤ 3 ⇔ 3^-1≤ 3^x ≤ 3¹ ⇔ -1 ≤ x ≤ 1

Vậy tập nghiệm của BPT là S = [-1;1] .

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình là

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình là 9^x-1 - 36.3^x-3 + 3 ≤ 0

A. x ≥ 1 . B. x ≤ 3 . C. 1 ≤ x ≤ 3. D. 1 ≤ x ≤ 2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Câu 4: Bất phương trình 9^x - 3^x - 6 < 0 có tập nghiệm là

A. (-∞;1) . B. (-∞;-2) ∪ (3; +∞). C. (1; +∞). D. (-2;3).

Hướng dẫn giải

Chọn A.

9^x - 3^x - 6 < 0 ⇔ (3^x)² - 3^x - 6 < 0 ⇔ -2 < 3^x < 3 ⇔ x < 1

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (-∞;1) .

Câu 5: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là

A. (0;1) B. (1;2) C. D. (2;3)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Vậy tập nghiệm của BPT là S =

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình là:

A. -1 < x ≤ 1 B. x ≤ -1 C. x > 1 D. 1 < x < 2

Hướng dẫn giải

Đặt t = 3^x (t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

Chọn A.

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa

A. Phương pháp

Xét bất phương trình dạng: a^f(x) > b^g(x) (*) với 1 ≠ a; b > 0

• Lấy logarit 2 vế với cơ số a > 1 ta được: (*) ⇔ log_aa^f(x) > log_ab^g(x) ⇔ f(x) > g(x)log_ab

• Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 < a < 1 ta được: (*) ⇔ log_aa^f(x) < log_ab^g(x) ⇔ f(x) < g(x)log_ab

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập S của bất phương trình: 3^x.5^x < 1.

A. (-log₅3;0] . B. [log₅3;0).

C. (-log₅3;0). D. (log₅3;0).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: 3^x.5^x < 1 ⇔ log₅(3^x.5^x) < 0 ⇔ x² + xlog₅3 < 0 ⇔ -log₅3 < x < 0 nên S = (-log₅3;0)

Câu 2: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có

Đáp án sai là B.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình là:

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 4^x + 4^x+2 + 4^x+4 ≥ 5^x + 5^x+2 + 5^x+4 là:

Câu 3: Cho bất phương trình: 3^x + 3^x+1 + 3^x+2 ≤ 4^x + 4^x+1 + 4^x+2 (1)

Tập nghiệm của bất phương trình (1) là:

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 3^x.x² + 54x + 5.3^x > 9x² + 6x.3^x + 45 là:

A. (-∞;1) ∪ (2;+∞) B. (-∞;1) ∪ (2;5)

C. (-∞;1) ∪ (5;+∞) D. (1;2) ∪ (5;+∞)

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình (2^x - 4)(x² - 2x - 3) < 0 là

A. (-∞;-1) ∪ (2;3) B. (-∞;1) ∪ (2;3)

C. (2;3) . D. (-∞;-2) ∪ (2;3)

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình là:

A. x ≥ 4 . B. x < 0 . C. x > 0. D. x < 4.

Câu 7: Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình:

A. x > 3 hoặc x < -3 B. -3 < x < 3 . C. x < -3 D. x > 0.

Câu 8: Giải bất phương trình

Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (-∞;-2) B. (-∞;-2) ∪ (1;+∞) .

C. (-2;1) . D. (1;+∞)

Câu 10: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

Câu 11: Tập các số x thỏa mãn là:

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. (-∞;-1] ∪ [0;1] B. [-1;0]

C. (-∞;-1) ∪ [0;+∞) D. [-1;0] ∪ (1;+∞)

Câu 13: Nghiệm của bất phương trình là

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. [0;2]. B. [-∞;1]. C. [-∞;0]. D. [2;+∞]

Câu 15: Bất phương trình 2.5^x+2 + 5.2^x+2 ≤ 133.√10^x có tập nghiệm là S = [a,b] thì b - 2a bằng

A. 6 . B. 10 . C. 12 . D. 16

Câu 16: Giải bất phương trình

Câu 17: Tìm m để bất phương trình m.9^x - (2m + 1).6^x + m.4^x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ (0,1) .

A. 0 ≤ m ≤ 6 B. m ≤ 6 . C. m ≥ 6 D. m ≤ 0

ĐÁP ÁN

1A	2A	3A	4D	5A	6A	7B	8C	9C
10B	11C	12D	13D	14D	15B	16B	17B