Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit - Toán lớp 12

---

Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Với Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Hàm lũy thừa:

1.1. Định nghĩa: Hàm số y = x^a với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = x^α là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0.

    • D = (0;+∞) với α không nguyên.

1.3. Đạo hàm: Hàm số y = x^α, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)' = α.x^(α-1).

1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞).

y = xα, α > 0	y = xα, α < 0
A. Tập khảo sát: (0; +∞)	A. Tập khảo sát: (0; +∞)
B. Sự biến thiên:     + y'=αx(α-1) > 0,∀ x > 0.     + Giới hạn đặc biệt:     + Tiệm cận: không có	B. Sự biến thiên:     + y'=αx(α-1) < 0, ∀ x > 0.     + Giới hạn đặc biệt:     + Tiệm cận:         - Trục Ox là tiệm cận ngang.         - Trục Oy là tiệm cận đứng.
C. Bảng biến thiên:	C. Bảng biến thiên:

D. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm I(1;1).

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x³, y = x^-2, y = x^π.

2. Hàm số mũ: y = a^x,(a > 0, a ≠ 1).

2.1. Tập xác định: D = R

2.2. Tập giá trị: T = (0,+∞), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = a^f(x) thì t > 0.

2.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì hàm số y = a^x đồng biến, khi đó ta luôn có: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = a^x nghịch biến, khi đó ta luôn có: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x).

2.4. Đạo hàm:

2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

3. Hàm số logarit: y = log_ax,(a > 0,a ≠ 1)

3.1. Tập xác định: D = (0, +∞).

3.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = log_ax thì t không có điều kiện.

3.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì y=log_ax đồng biến trên D, khi đó nếu: log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì y=log_ax nghịch biến trên D, khi đó nếu log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

3.4. Đạo hàm:

3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hướng dẫn:

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1)

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = log₂(x³-4x)

Hướng dẫn:

Vẽ bảng biến thiên, khi đó hàm số có 1 cực trị

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = log₂(x²-2x+3) trên đoạn [-1;2]

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x-ln(1+x)

Lời giải:

TXĐ: D=(-1;+∞).

Đạo hàm

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;0) và đồng biến trên (0;+∞).

Bài 2: Tính giá trị cực tiểu y_CT của hàm số y = xe^x.

Lời giải:

Hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có y' = e^x + xe^x = e^x → y'=0 ⇔ 1+x=0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu y_CT = y(-1) = -1/e.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x)=e^x3-3x+3 trên đoạn [0;2]

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].

Bài 4: Tìm tập giá trị T của hàm số f(x)=(lnx)/x với x ∈ [1;e² ].

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [1;e²].

Bài 5: Cho hàm số y = e^ax2+bx+c đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. Tính giá trị của hàm số tại x=2.

Lời giải:

+ Cắt Oy tại y=e nên c=1.

+ y'=(ax+b) e^ax2+bx+c . Mà y'(1)=0 ⇔2a+b=0

+ Khi đó y(2) = e^4a+2b+c = e.

Bài 6: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (3x²+2m)⁵ đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn [2;3].

Lời giải:

Ta có y' = 30x(3x²+2m)⁴ ≥ 0, ∀ x ∈ [2;3] ⇒ Hàm số đạt GTLN tại x = 3

⇒ y(3) = 32 ⇔ (27+2m)⁵ = 32 ⇔ m = -25/2

Bài 7: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = 4^x-2^x+2-mx+1 đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Lời giải:

Ta có y = 4^x-2^x+2-mx+1 ⇒ y'=4^x.ln4-4.2^x.ln2-m=(4^x-2.2^x ).ln4-m

Theo đề y' ≥ 0,∀x ∈ (-1;1) ⇔(4^x-2.2^x ).ln4-m ≥ 0, ∀ x ∈ (-1;1)