Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(0)=2 căn 2

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $f (0) = 2 \sqrt{2}, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ và $f (x) . f^{'} (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$ . Tính giá trị $f (1)$ .

A. $\sqrt{15}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $\sqrt{23}$

D. $\sqrt{26}$

Trả lời:

Đáp án B

Ta có $f (x) . f' (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} = 2 x + 1$

$\Leftrightarrow \int \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} d x = \int (2 x + 1) d x$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 + f^{2} (x)} = x^{2} + x + C$

Vì $f (0) = 2 \sqrt{2}$ nên $C = 3$ .

$\Rightarrow f (x) = \sqrt{{(x^{2} + x + 3)}^{2} - 1} \Rightarrow f (1) = 2 \sqrt{6}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ là

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hàm số thỏa mãn $f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π); f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ . Tìm $\int f (x) d x$

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) e^{x}$ là

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = \{\begin{cases} e^{x} khi x \geq 0 \\ e^{- x} khi x < 0 \end{cases}$ và $f (4) = e$ . Đặt $S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?