Cho hàm số f(x) liên tục trên R và 1 tích phân 0 f(x) dx=4 ,3 tích phân 0 f(x)dx=6 . Tính I= 1 tích phân -1 f(| 2x+1|)dx

Câu hỏi:

A. $I=3$

B. I=5

C. I=6

D. I=4

Trả lời:

Chọn B

Đặt $u=2x+1$$\Rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$ . Khi $x=-1$  thì $u=-1$ . Khi $x=1$  thì $u=3$ .

Nên $I=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(\left|u\right|\right)\mathrm{d}u$$=\frac{1}{2}\left(\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(\left|u\right|\right)\mathrm{d}u+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(\left|u\right|\right)\mathrm{d}u\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(-u\right)\mathrm{d}u+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(u\right)\mathrm{d}u\right)$.

Xét $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=4$ . Đặt $x=-u$$\Rightarrow \mathrm{d}x=-\mathrm{d}u$ .

Khi $x=0$  thì $u=0$ . Khi $x=1$  thì $u=-1$ .

Nên $4=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=-\underset{0}{\overset{-1}{\int }}f\left(-u\right)\mathrm{d}u=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(-u\right)\mathrm{d}u$ .

Ta có $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=6\Rightarrow \underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(u\right)\mathrm{d}u=6$ .

Nên $I=\frac{1}{2}\left(\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(-u\right)\mathrm{d}u+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(u\right)\mathrm{d}u\right)=\frac{1}{2}\left(4+6\right)=5$