Cho hàm số f(x)=x62+x+1 khi x>=0 và 2x-3 khi x<0. Biết I= tích phân bi/2 đến 0 f(2sinx-1)cosxdx+ tích phân e^2 đến e f(lnx)/xdx

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+x+1& \text{ khi }x\ge 0\\ 2x-3& \text{ khi }x<0\end{array}\right.$ . Biết $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(2\sin x-1)\cos x dx+\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=\frac{a}{b}$  với $\frac{a}{b}$  là phân số tối giản. Giá trị của tích a+b bằng

Chọn B

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(2\sin x-1)\cos x dx+\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=I_1+I_2$

Đặt $t=2\sin x-1\Rightarrow dt=2\cos xdx\Rightarrow \cos xdx=\frac{dt}{2}$ . Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=-1\\ x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1\end{array}\right.$  .

$\Rightarrow I_1=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$

Do  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+x+1& \text{ khi }x\ge 0\\ 2x-3& \text{ khi }x<0\end{array}\right.$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left(\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(2x-3\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+x+1\right)dx\right)=-\frac{13}{12}$.

Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx$ . Đổi cận  $\left\{\begin{array}{l}x=e\Rightarrow t=1\\ x=e^2\Rightarrow t=2\end{array}\right.$.

$\Rightarrow I_2=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Do  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+x+1& \text{ khi }x\ge 0\\ 2x-3& \text{ khi }x<0\end{array}\right.$

$\Rightarrow I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x+1\right)dx=\frac{29}{6}$.

$\Rightarrow I=I_1+I_2=-\frac{377}{72}\Rightarrow a=-377,b=72$

Vậy $a+b=-305$