Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f(0)=f'(0)=1 và f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)-1 , với x,y thuộc Z .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x\left(1+x^2\right)& khix\ge 3\\ \frac{1}{x-4}& khix<3\end{array}\right.$ . Tích phân $\underset{{\text{e}}^2}{\overset{{\text{e}}^4}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right) }{x}\text{d}x$  bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}& khix\ge 1\\ x+1& khix<1\end{array}\right.$ . Tích phân $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(\sqrt[3]{1-x}\right)\text{d}x=\frac{m}{n}$  ( $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản), khi đó $m-2n$  bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)$  liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$ , $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=6$  . Tính $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x+1\right|\right)\text{d}x$

Cho hàm số $f\left(x\right)$  có đạo hàm liên tục trên $\left[0;1\right]$  thỏa mãn $f\left(1\right)=0$ , $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2\text{d}x=7$  và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}$ . Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$  bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$  xác định trên $ℝ\backslash \left\{-2;1\right\}$  thỏa mãn

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x^2+x-2},f\left(-3\right)-f\left(3\right)=0,f\left(0\right)=\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $f\left(-4\right)+f\left(1\right)-f\left(4\right)$   bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$  xác định và liên tục trên R đồng thời thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=-e^x{f}^2\left(x\right),\forall x\in ℝ\\ f\left(0\right)=\frac{1}{2}\end{array}\right..$

Tính giá trị của $f\left(\ln 2\right)$ .