Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (alpha) đi qua

Ta có (α) ∩ (SCD) = NM nên NM // CD

Do đó (α) là (ABMN)

Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là

${V_{S.ABMN}} = {V_{ABCDNM}} \Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}$                       (1)

Ta có: ${V_{S.ABC}} = {V_{S \cdot ACD}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S \cdot ABCD}}$

Đặt $\frac{{SN}}{{SD}} = x$ với $(0 < x < 1)$, khi đó theo Ta – let ta có $\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = x$

Mặt khác $\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = x$

Suy ra ${V_{S.ABM}} = \frac{x}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}$

Ta có: $\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = {x^2}$

Suy ra ${V_{S.AMN}} = \frac{{{x^2}}}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}$

Ta có: ${V_{S.ABMN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.AMN}} = \left( {\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right){V_{S.ABC{\rm{D}}}}$                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Mà $(0 < x < 1)$ nên $x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$

Hay $\frac{{SN}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$

Vậy ta chọn đáp án C.