Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB, SC=SD

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

S A = S B, S C = S D, (S A B) ⊥ (S C D)

và tổng diện tích hai tam giác SAB và SCD bằng

\frac{7 a^{2}}{10} .

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3}}{5} .$

V = \frac{4 a^{3}}{15} .

V = \frac{4 a^{3}}{25} .

D. $V = \frac{12 a^{3}}{25} .$

Trả lời:

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Media VietJack

Tam giác SAB cân tại S suy ra $S M ⊥ A B \Rightarrow S M ⊥ d,$ với $d = (S A B) \cap (S C D) .$

Vì $(S A B) ⊥ (S C D)$ suy ra $S M ⊥ (S C D) \Rightarrow S M ⊥ S N$ và $(S M N) ⊥ (A B C D) .$

Kẻ $S H ⊥ M N \overset{}{\to} S H ⊥ (A B C D) .$

Ta có $S_{Δ S A B} + S_{Δ S C D} = \frac{7 a^{2}}{10} \Leftrightarrow \frac{1}{2} A B . S M + \frac{1}{2} C D . S N = \frac{7 a^{2}}{10} \overset{}{\to} S M + S N = \frac{7 a}{5} .$

Tam giác SMN vuông tại S nên $S M^{2} + S N^{2} = M N^{2} = a^{2} .$

Giải hệ $\{\begin{cases} S M + S N = \frac{7 a}{5} \\ S M^{2} + S N^{2} = a^{2} \end{cases} \Leftrightarrow S M = \frac{3 a}{5} & S N = \frac{4 a}{5} \overset{}{\to} S H = \frac{S M . S N}{M N} = \frac{12 a}{25} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S H = \frac{4 a^{3}}{25} .$ Chọn C.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, $S B = 2 a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $3 a .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC