Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với
Câu hỏi:
Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.
a, Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.
b, Chứng minh ^BEG=90∘.
c, Cho biết BH = 4 cm, ^BAC=30∘. Tính SABCD; SEFCG.
Trả lời:
a) Vì E, F theo thứ tự là trung điểm của AH, BH nên EF là đường trung bình trong tam giác ABH
⇒ EF // AB và EF = 12AB=12DC=DG
Vì AB // DG nên EF // DG
Xét tứ giác EFCG có: EF // DG và EF = DG
Nên EFCG là hình bình hành
b) Lại có: AB ⊥ BC mà EF // AB nên EF ⊥ BC
Mà BF ⊥ AC
Xét trong tam giác BEC có: EF ⊥ BC; BF ⊥ EC nên F là trực tâm của tam giác BEC
Suy ra: CF ⊥ BE (1)
Mà theo phần a có EFCG là hình bình hành nên: EG // CF (2)
Từ (1) và (2): EG ⊥ BE hay ^BEG=90∘
c) Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB ta có:
sinˆA=BHAB⇒AB=4sin30∘=8cm
tanˆA=BCAB=√33⇒ BC=8√33
AC = √AB2+BC2=16√33
Lại có: AB2 = AH.AC ⇒ AH = AB2 : AC = 4√3
HC = AC – AH = 16√33−4√3=4√33
Mà AE = EH = 12AH=2√3
Suy ra: EC = HC + EH = 4√33+2√3=10√33
Kẻ EM vuông góc với CD tại M
Có ^BAC=^ACD=30∘(2 góc so le trong)
Ta có: sin^ACD=sin30∘=EMEC
⇒ EM = sin30∘.10√33=5√33
SABCD = AB.BC = 8.8√33=64√33(cm2)
SEFCG = EM.EF = EM . 12AB=5√33.12.8=20√33(cm2).
