Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC cân là
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC cân là
\(\frac{1}{2}\left( {\tan A + \tan B} \right) = \frac{{\sin A + \sin B}}{{\cos A + \cos B}}\).
Trả lời:
Khi đó ta có: VP = \(\frac{{\sin A + \sin B}}{{\cos A + \cos B}}\)
\( = \frac{{2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}} = \frac{{\sin \frac{{A + B}}{2}}}{{\cos \frac{{A + B}}{2}}} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)}}{{\cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = \cot \frac{C}{2}\)
VT =\(\frac{1}{2}\left( {\tan A + \tan B} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos A.\cos B}} = \frac{{\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)}}\)
\( \ge \frac{{\sin C}}{{1 - \cos C}} = \frac{{2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = \cot \frac{C}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi cos(A – B) = 1 hay \[\widehat A = \widehat B\], tức tam giác ABC cân tại C.
