Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁có AB = a, AC = 2a, AA₁ = 2a

$\sqrt 5$ và

$\widehat {BAC}$ = 120°. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh CC₁, BB₁. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A₁BK) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a (ảnh 1)

Ta có: $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos 120^\circ } = a\sqrt 7$

A₁B = $\sqrt {{A_1}{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt {21}$

A₁K = $\sqrt {{A_1}{C_1}^2 + {C_1}{K^2}} = 3a$

KB = $\sqrt {K{C^2} + C{B^2}} = 2a\sqrt 3$

d(I; (A₁BK)) = $\frac{1}{2}$ d(B₁; (A₁BK)) = $\frac{1}{2}.\frac{{3{V_{{B_1}{A_1}AK}}}}{{{S_{\Delta {A_1}BK}}}}$

Mà ${V_{{B_1}{A_1}AK}} = \frac{1}{2}{V_{K.{A_1}{B_1}BA}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{3}.2a\sqrt 5 .\frac{1}{2}.a.2a.\sin 120^\circ = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

Theo công thức Herong, diện tích tam giác A₁BK bằng:

$S = \sqrt {p\left( {p - 2a\sqrt 3 } \right)\left( {p - 3a} \right)\left( {p - a\sqrt {21} } \right)} = 3{a^2}\sqrt 3$ với $p = \frac{{2a\sqrt 3 + 3a + a\sqrt {21} }}{2}$

Vậy d(I, (A₁BK)) = $\frac{3}{2}.\frac{{\frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}}}{{3{a^2}\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{6}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Xét xem dãy u_n = 3n – 1 có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.

Xem lời giải »

Câu 2:

Một vé xem phim có mức giá là 60000 đồng. Trong dịp khuyến mãi cuối năm 2018, số lượng người xem phim tăng lên 45% nên tổng doanh thu cũng tăng 8,75%. Hỏi rạp phim đã giảm giá mỗi vé bao nhiêu % so với giá bán ban đầu?

Xem lời giải »

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức: P = (x – 10)² – x(x + 80) tại x = 0,87.

Xem lời giải »

Câu 4:

Tính giá trị biểu thức A = 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF//BC, MN//BC (E, M thuộc AB, F, N thuộc AC).

a) Tính $\frac{{MN}}{{BC}};\frac{{EF}}{{BC}}$ .