Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có sin A/2
Câu hỏi:
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: \(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{bc}}} \).
Trả lời:
Từ định lý hàm số cosin: b2 + c2 – 2bc.cosA = a2
⇔(b – c)2 + 2bc – 2bc.cosA = a2
⇔ (b – c)2 + 2bc(1 – cosA) = a2
⇔ 2bc(1 – cosA) = a2 – (b – c)2
⇔ 4bc.\({\sin ^2}\frac{A}{2}\)= (a – b + c)(a + b – c)
⇔ 4bc.\({\sin ^2}\frac{A}{2}\)= 4(p – b)(p – c)
⇔ bc.\({\sin ^2}\frac{A}{2}\)= (p – b)(p – c)
⇔ \(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{bc}}} \).
