Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao
Câu hỏi:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao cho AM + AN + MN = 2a. Chứng minh ^MCN=45∘.
Trả lời:
Vẽ tia Cx vuông góc với CN tại C, cắt AB tại E.
^C1+^MCN+^C3=90∘
^C2+^MCN+^C3=90∘
Suy ra: ^C1=^C2
Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:
^C1=^C2
CD = CB
^CDN=^CBE=90∘
⇒ ∆CDN = ∆CBE (c.g.c)
⇒ CN = CE; DN = BE
Xét: AM + AN + ME
= AM + AN + MB + BE
= AM + AN + MB + ND (vì BE = ND, chứng minh trên)
= AM + MB + AN + ND
= AB + AD = 2a
Suy ra: AM + AN + ME = AM + AN + MN = 2a
Vậy MN = ME
Xét tam giác CMN và tam giác CME có:
CN = CE
Chung CM
MN = ME
⇒ ∆CMN = ∆CME (c.c.c)
⇒ ^MCN=^ECM
Mà ^MCN+^ECM=90∘(do CE vuông góc CN)
Vậy ^MCN=45∘.
