Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì
Câu hỏi:
Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.
a) Chứng minh DE = BF.
b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh ^DHF=90∘.
c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
Trả lời:
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và
^ABC=^BCD=^CDA=^DAB=90∘
Xét △DEC và △BFC có
EC = FC (giả thiết)
^DCE=^BCF=90∘
DC = BC (chứng minh trên)
Do đó △DEC = △BFC (c.g.c)
Suy ra DE = BF (2 cạnh tương ứng), ^EDC=^FBC
b) Xét △BEH và △DEC có
^BEH=^DEC (hai góc đối đỉnh)
^EDC=^FBC (chứng minh câu a)
Suy ra △BEH ∽ △DEC (g.g)
Do đó ^BHE=^DCE
Mà ^DCE=90∘nên ^BHE=90∘
Hay DE ⊥ BF
Suy ra ^DHF=90∘
c) Xét tam giác BDF có
DE ⊥ BF
BC ⊥ DF
DE cắt BC tại E
Suy ra E là trực tâm tam giác BDF
Do đó FK ⊥ BD
Mà AO ⊥ BD
Suy ra AO // IK
Vì CE = CF nên tam giác CEF cân tại C
Mà CI là trung tuyến
Suy ra CI là đường cao
Hay CI ⊥ EF
Xét tứ giác OKIC có ^OKI=^KOC=^CIK=90∘
Suy ra OKIC là hình chữ nhật
Do đó OC = KI
Mà OC = AO
Suy ra AO = KI
Xét tứ giác AOIK có AO // KI, AO = KI (chứng minh trên)
Suy ra AOIK là hình bình hành
d) Xét tứ giác ABHD có ^BAD+^BHD=90∘+90∘=180∘
Suy ra tứ giác ABHD nội tiếp
Do đó ^AHB=^ADB=45∘
Xét tứ giác DKHF có ^DKF=^DHF=90∘
Suy ra tứ giác DKHF nội tiếp
Do đó ^KHB=^FDB=45∘
Suy ra ^AHB=^KHB
Suy ra AH ≡ KH
Do đó A, H, K thẳng hàng.
Vậy A, H, K thẳng hàng.
