Cho số tự nhiên gạch ngang ab bằng ba lần tích các chữ số
Câu hỏi:
Cho số tự nhiên \(\overline {ab} \) bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) Chứng minh rằng b chia hết cho a.
b) Gỉa sử b = ka (k thuộc ℕ) chứng minh rằng k là ước của 10.
c) Tìm các số \(\overline {ab} \) nói trên.
Trả lời:
a) Theo đề bài có: \(\overline {ab} = 3ab\)
⇔ 10a + b = 3ab (1)
Vì 3ab ⋮ a nên (10a + b) ⋮ a
Mà 10a ⋮ a nên b ⋮ a.
b) Do b = ka mà b < 10 nên ka < 10
Thay b = ka vào (1) ta được:
10a + ka = 3a.ka
⇔ a(10 + k) = 3a2.k
⇔ 10 + k = 3ak (*)
Vì 3ak ⋮ k nên 10 + k ⋮ k
Mà k ⋮ k nên 10 ⋮ k
Vậy k là ước của 10.
c) Theo phần b có k là ước của 10 nên k ∈ {1; 2; 5}
Với k = 1 thay vào (*) có: 11 = 3a (loại vì a là số tự nhiên)
Với k = 2 thay vào (*) có: 12 = 6a ⇒ a = 2
b = ka = 2a = 2.2 = 4
Với k = 5 thay vào (*) có: 15 = 15a ⇒ a = 1
b = ka = 5a = 5
Vậy số cần tìm là 24 và 15.
