Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ (d không cắt đoạn thẳng BC). Kẻ BH vuông góc với d, CK vuông góc với d (H, C thuộc d).
a) Chứng minh rằng BH = AK.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: ΔBHM = ΔAKM.
c) Chứng minh ΔMHK vuông cân.
Trả lời:
a) \(\widehat {BAH} + \widehat {CAK} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAH} + \widehat {HBA} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {CAK} = \widehat {HBA}\)
Xét tam giác vuông HBA và KAC có:
\(\widehat {BHA} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)
AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A)
\(\widehat {HBA} = \widehat {CAK}\)
⇒ ∆HBA = ∆KAC (g.c.g)
⇒ BH = AK
b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường phân giác, đường cao
⇒ \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\); \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)
\[\widehat {ABC} = \widehat {MAC} = 90^\circ - \widehat {ACB}\]
Vậy \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \widehat {MAC}\)
Mà theo phần a có: \(\widehat {HBA} = \widehat {CAK}\)
⇒ \(\widehat {ABC} + \widehat {HBA} = \widehat {ACB} + \widehat {CAK} = \widehat {MAC} + \widehat {CAK}\)
Hay \(\widehat {HBM} = \widehat {MAK}\)
Xét tam giác BHM và AKM có:
BM = AM = \(\frac{1}{2}BC\)
\(\widehat {HBM} = \widehat {MAK}\)
BH = AK
⇒ ∆BHM = ∆AKM (c.g.c)
c) Theo phần b có: ∆BHM = ∆AKM nên MH = MK (2 cạnh tương ứng) (*)
Xét tam giác MKC và tam giác MHA có:
MH = MK
AH = KC (vì ∆HBA = ∆KAC theo phần a)
MC = MA = \(\frac{1}{2}BC\)
⇒ ∆MKC = ∆MHA (c.c.c)
⇒ \(\widehat {KMC} = \widehat {HMA}\)
Mà \(\widehat {KMC} + \widehat {AMK} = 90^\circ \)(vì AM là đường cao của ABC)
Nên: \(\widehat {HMA} + \widehat {AMK} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMK} = 90^\circ \) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: tam giác MHK vuông cân tại M.
