Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, góc A = 60 độ, góc A = 100 độ
Câu hỏi:
Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, \(\widehat C = 60^\circ ;\widehat A = 100^\circ \).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tính \(\widehat B,\widehat D\).
Trả lời:
a) Theo giả thiết có AB = AD suy ra tam giác ABD cân tại A
Nên đường thẳng kẻ từ A xuống BD vừa là đường cao vừa là phân giác vừa là đường trung trực, tức A thuộc đường trung trực của BD. (1)
Lại có: CD = CB ⇒ Tam giác CBD cân tại C
⇒ Đường thẳng kẻ từ C xuống đáy BD vừa là đường cao vừa là phân giác vừa là đường trung trực, tức C thuộc đường trung trực của BD (2)
Từ (1) và (2): AC là đường trung trực của BD.
b) Xét ∆ABC và ∆ADC có:
AB = AD
BC = DC
AC chung
⇒ ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
⇒ \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\)
Mà CH là phân giác của \(\widehat {CBD}\) nên \(\widehat {BCA} = \frac{1}{2}\widehat {BCD} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \)
AH là phân giác \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2}.100^\circ = 50^\circ \)
Lại có trong tam giác ABC có: \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \]
⇒ \[\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {BCA}} \right) = 180^\circ - 50^\circ - 30^\circ = 100^\circ \]
Vậy \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 100^\circ \).
