Cho x; y > 0 thỏa mãn log2x + log2y = log4( x + y) Tìm x; y để biểu thức P = x^2 + y^2

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Cho x; y > 0 thỏa mãn log₂x + log₂y = log₄( x + y) Tìm x; y để biểu thức P = x²+ y²đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $x = y = \sqrt[3]{2}$

B. $x = \sqrt[3]{2}; y = 2$

C. x = y= 1

D. $y = \sqrt[3]{2}; x = 2 \sqrt[3]{2}$

Trả lời:

Chọn A.

Theo đầu bài ta có : 2log₂xy = log₂(x + y) hay x + y = (xy) ²

Đặt u = x + y và v = xy ta có điều kiện u²- 4v ≥ 0 ; u > 0; v > 0.

Mà u = v² nên v⁴- 4v ≥ 0 suy ra

Ta có P = v⁴- 2v = g(v) với

Đạo hàm g’(v) = 4v³-2 > 0 với mọi

Do đó hàm số g(v) đồng biến trên $[\sqrt[3]{4}; + \infty)$

nên $m i n P = g (\sqrt[3]{4}) = {(\sqrt[3]{4})}^{4} - 2 \sqrt[3]{4} = 2 \sqrt[3]{4}$ khi $v = \sqrt[3]{4} \Rightarrow u = \sqrt[3]{16}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = \sqrt[3]{16} \\ x . y = \sqrt[3]{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \sqrt[3]{2} \\ y = \sqrt[3]{2} \end{cases}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Rút gọn $A = \frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{3} x} + \frac{1}{\log_{4} x} + . . . + \frac{1}{\log_{2011} x}$

Xem lời giải »

Câu 2:

Kết quả rút gọn của biểu thức $C = \sqrt{\log_{a} b + \log_{b} a + 2} (\log_{a} b - \log_{a b} b) \sqrt{\log_{a} b}$ là:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho a; b > 0, Nếu viết $\log_{5} {(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^{5}}})}^{- 0, 2} = x \log_{5} a + y \log_{5} b$ thì xy bằng bao nhiêu ?

Xem lời giải »

Câu 4:

Thu gọn biểu thức $A = \frac{1}{\log_{a} b} + \frac{1}{\log_{a^{2}} b} + \frac{1}{\log_{a^{3}} b} + . . . + \frac{1}{\log_{a^{n}} b}$ ta được:

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho $m = \log_{a} \sqrt{a b}$ với b> a > 1 và P = log²_ab + 54log_ba. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho a; b; c lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó c - b và c + b khác 1. Khi đó log_c+ba + log_c-ba bằng:

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hai số thực a; b với 1< a< b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho a; b > 0 thỏa mãn a²+ b ²= 7ab. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho x; y > 0 thỏa mãn log2x + log2y = log4( x + y) Tìm x; y để biểu thức P = x^2 + y^2

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: