Hai mặt cầu (S) x^2+ y^2+^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 và (s): x^2 + y^2 + z^2 - 2a'x 2b'y - 2c'z + d' = 0, cắt nhau theo đường tròn có phương trình :

Cho đường tròn (C)  đường kính AB  và đường thẳng $\Delta$. Để hình tròn xoay sinh bởi (C)  khi quay quanh $\Delta$ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

(I) Đường kính AB thuộc $\Delta$.

(II) $\Delta$ cố định và đường kính AB thuộc $\Delta$.

(III) $\Delta$ cố định và hai điểm A, B cố định trên $\Delta$.

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho $BC=R\sqrt{3}$. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

Cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$

I. $\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|-\sqrt{\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-d\right)}}{A^2+B^2+C^2}>0\Rightarrow \left(P\right)$ cắt (S)

II. $\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|-\sqrt{\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-d\right)}}{A^2+B^2+C^2}=0\Rightarrow \left(P\right)$ tiếp xúc (S)

III. $\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|-\sqrt{\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-d\right)}}{A^2+B^2+C^2}<0\Rightarrow \left(P\right)$ không cắt (S)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;3;0), B(-2;1;1) và đường thẳng: $\left(\Delta \right): \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}$. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc $\left(\Delta \right)$

Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(3-m\right)x-3\left(m+1\right)y-2mz+2m^2+7=0$

Giá trị $\alpha$ phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(3-{\cos }^2\alpha \right)x+4\left({\sin }^2\alpha -1\right)+2z+\cos 4\alpha +8=0$? $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$